第17章 函数及其图象
17. 5实践与探究
3.建立函数模型解决实际问题
1．[丽水]丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售．记汽车的行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时)．根据经验，v、t的一组对应值如下表：
v/(千米/小时)
75
80
85
90
95
t/小时
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
(1)根据表中的数据，求出平均速度v(千米/小时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式；
(2)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由；
(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．
2．[2018·天津]某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元．
设小明计划今年夏季游泳次数为x(x为正整数)．
(1)根据题意，填写下表：
游泳次数
10
15
20
…
x
方式一的总费用/元
150
175
200
…
5x＋100
方式二的总费用/元
90
135
180
…
9x
(2)若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？
(3)当x>20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由．
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3．[无锡]某地新建的一个企业，每月将产生1 960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：
污水处理器型号
A型
B型
处理污水能力/(吨/月)
240
180
已知商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元；售出的1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元．
(1)求每台A型、B型污水处理器的价格；
(2)为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们至少要支付多少钱？
4．[2018·乐山]某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)求这天的温度y与时间x(0≤x≤24)的函数关系式；
(2)求恒温系统设定的恒定温度；
(3)若大棚内的温度低于10 ℃，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭
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多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
参考答案
1．解：(1)根据表中的数据，可画出v关于t的函数图象(如答图所示)，
根据图象形状，选择反比例函数模型进行尝试．设v关于t的函数表达式为v＝，∵当v＝75时，t＝4，∴k＝4×75＝300，∴v＝.将点(3.75，80)、(3.53，85)、(3.33，90)、(3.16，95)的坐标代入v＝验证均满足．
∴v与t的函数表达式是v＝(t≥3)．
(2)∵10－7.5＝2.5，∴当t＝2.5时，v＝120>100.
∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场．
(3)由图象或反比例函数的性质得，当3.5≤t≤4时，75≤v≤.
∴平均速度v的取值范围是75≤v≤.
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2．解：(2)方式一：令100＋5x＝270，解得x＝34，
方式二：令9x＝270，解得x＝30.
∵34＞30，
∴选择方式一的付费方式，他游泳的次数比较多．
(3)令100＋5x＜9x，得x＞25，
令100＋5x＝9x，得x＝25，
令100＋5x＞9x，得x＜25.
∴当20＜x＜25时，小明选择方式二的付费方式，
当x＝25时，小明选择两种付费方式一样，
当x＞25时，小明选择方式一的付费方式．
3．
解：(1)设每台A型处理器的价格为x万元，每台B型处理器的价格为y万元.
根据题意得解得
答：每台A型处理器的价格为10万元，每台B型处理器的价格为8万元．
(2)购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理器，费用最少，最少费用为84万元，故他们至少要支付84万元．
4．
解：(1)如答图所示，设线段AB的解析式为y＝k1x＋b(k1≠0)．
∵线段AB过点(0，10)、(2，14)，
∴解得
∴线段AB的解析式为y＝2x＋10(0≤x＜5)．
∵B在线段AB上，∴当x＝5时，y＝20，
∴点B的坐标为(5，20)．
∴线段BC的解析式为y＝20(5≤x≤10)．
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设双曲线CD段的解析式为y＝(k2≠0)．
∵点C在线段BC上，∴点C的坐标为(10，20)．
又∵点C在双曲线y＝(k2≠0)上，∴k2＝200.
∴双曲线CD段的解析式为y＝(10＜x≤24)．
故y关于x的函数解析式为
y＝
(2)由(1)知，恒温系统设定的恒定温度为20 ℃.
(3)把y＝10代入y＝中，解得x＝20，
∴20－10＝10.
故恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
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