平行四边形
章末小结与提升
四边形平行四边形正方形
类型1 平行四边形的性质和判定
典例1 如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=DC,求证:四边形BCEF是平行四边形.
【解析】如图,连接AE,DB,BE,设BE交AD于点O.
∵AB∥DE,AB=DE,∴四边形ABDE是平行四边形,∴OB=OE,OA=OD.
∵AF=DC,∴OF=OC,∴四边形BCEF是平行四边形.
【针对训练】
1.如图,在平行四边形ABCD中,AD=7,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为(A)
A.4 B.3 C.52 D.2
2.如图,P为▱ABCD的边AD上一点,E,F分别是PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=3,则S1+S2的值是 12 .
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3.在▱ABCD中,点E在CD边上,点F在AB边上,连接AE,CF,DF,BE,∠DAE=∠BCF.
(1)如图1,求证:四边形DFBE是平行四边形;
(2)如图2,设AE交DF于点G,BE交CF于点H,连接GH,若E是CD边的中点,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中以GH为边或对角线的所有平行四边形.
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∠ADE=∠CBF,AD=BC,
在△ADE和△CBF中,∠ADE=∠CBF,AD=BC,∠DAE=∠BCF,
∴△ADE≌△CBF(ASA),∴DE=BF,
又∵DE∥BF,∴四边形DFBE是平行四边形.
(2)以GH为边的平行四边形有▱GHFA、▱GHBF、▱GHED、▱GHCE;以GH为对角线的平行四边形是▱GFHE.
类型2 三角形的中位线
典例2 如图,等边△ABC的边长是4,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF=12BC,连接CD和EF.
(1)求证:DE=CF;
(2)求EF的长;
(3)求四边形DEFC的面积.
【解析】(1)在△ABC中,∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴DE=12BC,
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∵CF=12BC,∴DE=CF.
(2)∵AC=BC,AD=BD,∴CD⊥AB.
∵BC=4,BD=2,∴CD=42-22=23.
∵DE∥CF,DE=CF,
∴四边形DEFC是平行四边形,
∴EF=CD=23.
(3)过点D作DH⊥BC于点H.
∵∠DHC=90°,∠DCB=30°,
∴DH=12DC=3,
∵DE=CF=2,∴S四边形DEFC=CF·DH=2×3=23.
【针对训练】
1.以一个面积为1的三角形的三条中位线为三边的三角形的面积为(C)
A.4 B.2 C.14 D.12
2.如图,D,E分别是AB,AC的中点,BE是∠ABC的平分线,对于下列结论:①BC=2DE;②DE∥BC;③BD=DE;④BE⊥AC.其中正确的是(D)
A.①② B.①②③
C.①②④ D.①②③④
3.(曲靖中考)如图,在△ABC中,AB=13,BC=12,D,E分别是AB,BC的中点,连接DE,CD,如果DE=2.5,那么△ACD的周长是 18 .
4.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,P分别是AD,BC,BD的中点,∠ABD=20°,∠BDC=70°,求∠PMN的度数.
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解:∵在四边形ABCD中,M,N,P分别是AD,BC,BD的中点,
∴PN,PM分别是△CDB与△DAB的中位线,
∴PM=12AB,PN=12DC,PM∥AB,PN∥DC,
∴∠MPD=∠ABD=20°,∠BPN=∠BDC=70°,
∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+(180-70)°=130°,
∵AB=CD,∴PM=PN,
∴∠PMN=180°-130°2=25°.
类型3 直角三角形斜边上的中线
典例3 如图,△ABC中,AB=AC,D是BC上一点,DE⊥AB于点E,FD⊥BC于点D,G是FC的中点,连接GD.求证:GD⊥DE.
【解析】∵FD⊥BC,G是FC的中点,
∴GD是Rt△FCD斜边上的中线,∴GD=GC,
∴∠GDC=∠C.
又∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠GDC,
∴GD∥AB,∴∠BED=∠GDE.
∴∠GDE=90°,∴GD⊥DE.
【针对训练】
1.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AB的长为2.4 km,则M,C两点间的距离为(B)
A.0.6 km B.1.2 km C.0.9 km D.4.8 km
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2.如图,在三角形ABC中,AB=AC,BC=6,△DEF的周长是7,AF⊥BC于点F,BE⊥AC于点E,且D是AB的中点,则AF的长为(A)
A.7 B.5 C.3 D.7
3.如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB=AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF=2,则AC的长是(B)
A.3 B.4 C.5 D.6
类型4 特殊的平行四边形的性质和判定
典例4 如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.
(1)求证:四边形BCDE为菱形;
(2)连接AC,若∠ADB=30°,BC=1,求AC的长.
【解析】(1)∵AD=2BC,E为AD的中点,
∴DE=BC.
∵AD∥BC,∴四边形BCDE是平行四边形,
∵∠ABD=90°,AE=DE,∴BE=DE,
∴平行四边形BCDE是菱形.
(2)连接AC.
∵∠ADB=30°,∠ABD=90°,∴AD=2AB,
∵AD=2BC,∴AB=BC,∴∠BAC=∠BCA.
∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA,
∴∠CAB=∠CAD=30°,
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∴AB=BC=DC=1,AD=2BC=2.
∵∠DAC=30°,∠ADC=60°,
∴在Rt△ACD中,AC=AD2-CD2=3.
【针对训练】
1.如图,在边长为2的正方形ABCD中,M为边AD的中点,延长MD至点E,使ME=MC,以DE为边作正方形DEFG,点G在边CD上,则DG的长为(D)
A.3-1 B.3-5 C.5+1 D.5-1
2.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,M为EF的中点,则AM的最小值为 65 .
3.如图,四边形ABCD是菱形,CE⊥AB交AB延长线于点E,CF⊥AD交AD延长线于点F,请猜想CE和CF的大小有什么关系?并证明你的猜想.
解:CE=CF.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,AB∥CD,CD=BC,
∴∠A=∠CBE,∠A=∠FDC,
∴∠CBE=∠FDC.
∵CF⊥AD,CE⊥AB,∴∠CEB=∠CFD=90°,
在△CDF和△CBE中,∠CDF=∠CBE,∠CFD=∠CEB,CD=CB,
∴△CDF≌△CBE(AAS),∴CE=CF.
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4.定义:若P为四边形ABCD内一点,且满足∠APB+∠CPD=180°,则称点P为四边形ABCD的一个“互补点”.
(1)如图1,点P为四边形ABCD的一个“互补点”,∠APD=63°,求∠BPC的度数.
(2)如图2,点P是菱形ABCD对角线上的任意一点.求证:点P为菱形ABCD的一个“互补点”.
解:(1)由题可知∠BPC=180°-∠APD=180°-63°=117°.
(2)连接AP,CP.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD,∠ADP=∠CDP.
在△ADP与△CDP中,AD=CD,∠ADP=∠CDP,PD=PD,
∴△ADP≌△CDP(SAS),∴∠APD=∠CPD.
又∵∠APB+∠APD=180°,
∴∠APB+∠CPD=180°,
∴点P为菱形ABCD的一个“互补点”.
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