第
2
课时
三角形的中位线
知识点
1
知识点
2
三角形中位线的性质
1
.
如图
,
在
△
ABC
中
,
AB=
6,
AC=
10,
D
,
E
,
F
分别是
AB
,
BC
,
AC
的中点
,
则四边形
ADEF
的周长为
(
D
)
A.8 B.10
C.12
D.16
2
.
如图
,
在
△
ABC
中
,
AB=
5,
BC=
6,
AC=
7,
D
,
E
,
F
分别是
△
ABC
三边的中点
,
则
△
DEF
的周长为
(
A
)
A.9 B.10
C.11
D.12
知识点
1
知识点
2
三角形中位线性质的实际应用
3
.
如图
,
A
,
B
两点被一座山隔开
,
M
,
N
分别是
AC
,
BC
的中点
,
测量
MN
的长度为
40 m,
那么
AB
的长度为
(
B
)
A
.
40 m
B
.
80
m
C
.
160
m D
.
不能确定
4
.
如图是屋架设计图的一部分
,
D
是斜梁
AB
的中点
,
立柱
BC
,
DE
垂直于横梁
AC
,
AB=
4 m
,
∠
A=
30
°
,
则
DE
等于
(
A
)
A.1 m B.2 m
C.3
m D.4 m
5
.
如图
,
△
ABC
的面积是
12,
D
,
E
,
F
,
G
分别是
BC
,
AD
,
BE
,
CE
的中点
,
则
△
AFG
的面积是
(
A
)
A.4
.
5 B.5
C.5
.
5
D.6
6
.
(
达州中考
)
如图
,
△
ABC
的周长为
19,
点
D
,
E
在边
BC
上
,
∠
ABC
的平分线垂直于
AE
,
垂足为
N
,
∠
ACB
的平分线垂直于
AD
,
垂足为
M
,
若
BC=
7,
则
MN
的长度为
(
C
)
7
.
如图
,
四边形
ABCD
中
,
∠
A=
90
°
,
AB=
,
AD=
3,
M
,
N
分别为线段
BC
,
AB
上的动点
(
含端点
,
但点
M
不与点
B
重合
),
E
,
F
分别为
DM
,
MN
的中点
,
则
EF
长度的最大值为
(
A
)
A.3 B.4
C.4
.
5
D.5
8
.
如图
,
在
△
ABC
中
,
AB=AC
,
M
,
N
分别是
AB
,
AC
的中点
,
D
,
E
为
BC
上的点
,
连接
DN
,
EM.
若
AB=
13 cm,
BC=
10 cm,
DE=
5 cm,
则图中阴影部分面积为
(
C
)
A.25 cm
2
B.35 cm
2
C.30 cm
2
D.42 cm
2
9
.
如图
,
在
△
ABC
中
,
A
1
,
B
1
,
C
1
分别是
BC
,
AC
,
AB
的中点
,
A
2
,
B
2
,
C
2
分别是
B
1
C
1
,
A
1
C
1
,
A
1
B
1
的中点
,
…
,
若
△
ABC
的周长为
1,
则
△
A
2018
B
2018
C
2018
的周长为
.
10
.
如图
,
O
为跷跷板
AB
的中点
,
支柱
OC
与地面
MN
垂直
,
垂足为
C
,
且
OC=
50 cm,
当跷跷板的一端
B
着地时
,
另一端
A
离地面的高度为
100
cm
.
11
.
如图
,
在四边形
ABCD
中
,
AB
∥
CD
,
AD
⊥
CD
,
E
,
F
分别是
AB
,
BC
的中点
,
AB=
4,
EF=
2
,
∠
B=
60
°
,
则
CD
的长为
2
.
12
.
如图
,
在四边形
ABCD
中
,
P
是对角线
BD
的中点
,
E
,
F
分别是
AB
,
CD
的中点
,
AD=BC
,
∠
PEF=
35
°
,
则
∠
PFE
的度数是
35
°
.
13
.
如图
,
在
△
ABC
中
,
AD
是中线
,
AE
是角平分线
,
CF
⊥
AE
于点
F
,
连接
DF
,
AB=
10,
AC=
6,
则
DF
的长为
2
.
提示
:
延长
CF
交
AB
于点
G
,
则
DF=
BG=
2
.
14
.
如图
,
在
△
ABC
中
,
点
D
在
BC
上且
CD=CA
,
CF
平分
∠
ACB
,
AE=EB.
求证
:
EF=
BD.
证明
:
∵
CD=CA
,
CF
平分
∠
ACB
,
∴
F
是
AD
的中点
.
∵
AE=EB
,
∴
E
是
AB
的中点
,
∴
EF=
BD.
15
.
如图
,
M
是
△
ABC
的边
BC
的中点
,
AN
平分
∠
BAC
,
BN
⊥
AN
于点
N
,
延长
BN
交
AC
于点
D
,
已知
AB=
10,
AC=
16
.
( 1 )
求证
:
BN=DN
;
( 2 )
求
MN
的长
.
证明
:( 1 )
∵
AN
平分
∠
BAC
,
∴
∠
1
=
∠
2,
∵
BN
⊥
AN
,
∴
∠
ANB=
∠
AND
,
在
△
ABN
和
△
ADN
中
,
∴
△
ABN
≌
△
ADN
( ASA
),
∴
BN=DN.
( 2 )
∵
△
ABN
≌
△
ADN
,
∴
AD=AB=
10,
DN=NB
,
∴
CD=AC-AD=
16
-
10
=
6,
又
∵
M
是
BC
的中点
,
∴
MN
是
△
BDC
的中位线
,
∴
MN= CD=
3
.
16
.
定义
:
如图
1,
点
M
,
N
把线段
AB
分割成
AM
,
MN
和
BN
,
若以
AM
,
MN
,
BN
为边的三角形是一个直角三角形
,
则称
M
,
N
是线段
AB
的勾股分割点
.
请解决下列问题
:
( 1 )
已知
M
,
N
是线段
AB
的勾股分割点
,
且
BN>MN>AM.
若
AM=
2,
MN=
3,
求
BN
的长
;
( 2 )
如图
2,
若
F
,
M
,
N
,
G
分别是
AB
,
AD
,
AE
,
AC
边上的中点
,
D
,
E
是线段
BC
的勾股分割点
,
且
EC>DE>BD.
求证
:
M
,
N
是线段
FG
的勾股分割点
.
解
:( 1 )
∵
M
,
N
是线段
AB
的勾股分割点
,
且
BN>MN>AM
,
AM=
2,
MN=
3,
∴
BN
2
=MN
2
+AM
2
=
9
+
4
=
13,
∴
BN=
.
( 2 )
∵
F
,
M
,
N
,
G
分别是
AB
,
AD
,
AE
,
AC
边上的中点
,
∴
FM
,
MN
,
NG
分别是
△
ABD
,
△
ADE
,
△
AEC
的中位线
,
∴
BD=
2
FM
,
DE=
2
MN
,
EC=
2
NG
,
∵
D
,
E
是线段
BC
的勾股分割点
,
且
EC>DE>BD
,
∴
EC
2
=DE
2
+DB
2
,
∴
4
NG
2
=
4
MN
2
+
4
FM
2
,
∴
NG
2
=MN
2
+FM
2
,
∴
M
,
N
是线段
FG
的勾股分割点
.
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