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*8.4 三元一次方程组的解法
知识要点基础练
知识点 1 三元一次方程组的概念
1.下列方程组中,是三元一次方程组的是 (A)
A.{a = 1
b = 2
b - c = 3
B.{x + y = 2
y + z = 1
z + c = 3
C.{4x - 3y = 7
5x - 2y = 14
2x - y = 4
D.{xy + z = 3
x + yz = 5
xy + y = 7
知识点 2 三元一次方程组的解法
2. 如果方程组{x = y + 5,
2x - y = 5的解是方程 2x-3y+a=5 的解,那么 a 的值是 -10 .
3.解三元一次方程组:
(1){x - y = -1,
y - z = -1,
x + y + z = 6.
解:原方程组的解是{x = 1,
y = 2,
z = 3.
(2){2x - y + z = 2,
x - 2y - z = 7,
x + y - 2z = 7.
解:原方程组的解为{x = 2,
y = -1,
z = -3.
知识点 3 三元一次方程组的实际应用
4. 一只船有一个漏洞,水以均匀速度进入船内.发现漏洞时船内已经进入了一些水,如果以
12 个人淘水,3 小时可以淘完,如果以 5 个人淘水,10 小时才能淘完.现在要想在 2 小时内淘
完,需要的人数为 (A)2
A.17 B.18
C.20 D.21
5. 某农场 300 名职工耕种 51 公顷土地,计划种植水稻、棉花和蔬菜,已知种植农作物每公
顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表:
农作物
品种
每公顷需劳
动力
每公顷需投入的
设备资金
水稻 4 人 1 万元
棉花 8 人 1 万元
蔬菜 5 人 2 万元
已知该农场计划在设备上投入 67 万元,应该怎样安排这三种作物的种植面积,才能使所有职
工有工作,而且投入的资金正好够用?
解:设种植水稻 x 公顷,棉花 y 公顷,蔬菜为 z 公顷,
由题意得{x + y + 2z = 67,
4x + 8y + 5z = 300,
x + y + z = 51,
解得{x = 15,
y = 20,
z = 16.
答:种植水稻 15 公顷,棉花 20 公顷,蔬菜 16 公顷.
综合能力提升练
6.解方程组{3x - y + z = 4 ①,
2x + 3y - z = 12 ②,
x + y + z = 6 ③
时,第一次消去未知数的最佳方法是 (C)
A.加减法消去 x,将 ①-③×3 与 ②-③×2
B.加减法消去 y,将 ①+③与 ①×3+②
C.加减法消去 z,将 ①+②与 ③+②
D.代入法消去 x,y,z 中的任何一个
7. 方程 x+y+z=7 的正整数解有 (C)
A.10 组 B.12 组
C.15 组 D.16 组
8.若(2x-4)2+(x+y)2+|4z-y|=0,则 x+y+z 等于 (A)3
A.-0.5 B.0.5
C.2 D.-2
9.已知{a - 2b + 3c = 0,
2a - 3b + 4c = 0,则 a∶b∶c= 1∶2∶1 .
10. 某服装厂专门安排 210 名工人进行手工衬衣的缝制,每件衬衣由 2 个衣袖、1 个衣身、
1 个衣领组成,如果每人每天能够缝制衣袖 10 个或衣身 15 个或衣领 12 个,那么应该安排
120 名工人缝制衣袖,才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套.
11.一个三位数的三个数字的和是 17,百位数字与十位数字的和比个位数字大 3,如果把个位
数字与百位数字的位置对调,那么所得的三位数比原数大 495,求原来的三位数.
解:设原来的三位数的百位数字为 x,十位数字为 y,个位数字为 z,
根据题意,得
{x + y + z = 17,
x + y - z = 3,
(100z + 10y + x) - (100x + 10y + z) = 495,
解得{x = 2,
y = 8,
z = 7.
故原来的三位数是 287.
12.大约 1500 年以前,我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里,曾经提出并解
决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题,通俗地讲就是下例:今有公鸡每只五个铜钱,母鸡
每只三个铜钱,小鸡每个铜钱三只.用 100 个铜钱买 100 只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多
少只?
解:设公鸡有 x 只,母鸡有 y 只,小鸡有 z 只,
根据题意,得{5x + 3y + 1
3z = 100,
x + y + z = 100,
整理得 7x+4y=100,x=100 - 4y
7 = 4(25 - y)
7 ,
∵x,y 都是自然数,∴y≤25,25-y 是 7 的倍数,且 x,y,z 均不为 0,
∴25-y=7 或 25-y=14 或 25-y=21,即 y=18 或 y=11 或 y=4.
①当 y=18 时,x=4,z=78;②当 y=11 时,x=8,z=81;③当 y=4 时,x=12,z=84.
答:共有 3 种情况:①公鸡 4 只,母鸡 18 只,小鸡 78 只;②公鸡 8 只,母鸡 11 只,小鸡 81 只;
③公鸡 12 只,母鸡 4 只,小鸡 84 只.4
拓展探究突破练
13. 请阅读下面对话,并解答问题:
一天晚饭后小明与隔壁小店老板闲聊,小店老板说:我经销 A,B 两种商品.A,B 两种商品的进
货单价之和为 5 元;A 商品零售价比进货单价多 1 元,B 商品零售价比进货单价的 2 倍少 1 元,
按零售价购买 A 商品 3 件和 B 商品 2 件,共 19 元.你知道 A,B 两种商品的进货单价各多少元
吗?小明想了想很快回答了小店老板的问题.并给小店老板出了个问题:上次我去逛超市,买
甲、乙、丙三样商品,拿了 4 件甲商品,7 件乙商品,1 件丙商品,结果售货员告诉我共 8 元,
我没带那么多钱,就改成了买 2 件甲商品,3 件乙商品,1 件丙商品,结果售货员告诉我要 6 元,
可我钱还是不够,我算了算,我的钱恰好够买甲、乙、丙商品各一件,你知道我那天带了多少
钱吗?小店老板晕了,叹道:这我哪知呀!后生可畏,后生可畏啊!
问题:
(1)你知道小明是怎样求解小店老板的问题的吗?请写出求解过程.
(2)小明给老板的问题真的不能解决吗?若能解,请写出求解过程.
解:(1)设 A 商品进货单价为 x 元,B 商品进货单价为 y 元,
根据题意得{x + y = 5,
3(x + 1) + 2(2y - 1) = 19,
解得{x = 2,
y = 3.
答:A,B 两种商品的进货单价分别为 2 元、3 元.
(2)设甲商品售价为 a 元,乙商品售价为 b 元,丙商品售价为 c 元,
根据题意得{4a + 7b + c = 8, ①
2a + 3b + c = 6, ②
①-②得 2a+4b=2,则 a+2b=1, ③
②-③得 a+b+c=5.
答:小明那天带了 5 元钱.
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