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第 1 课时 用代入法解二元一次方程组
知识要点基础练
知识点 1 用一个未知数表示另一个未知数
1.已知 2x+3y=6,用含有 y 的式子表示 x,得 (A)
A.x=3-3
2y
B.y=2-2
3x
C.x=3-3y
D.y=2-2x
2.已知方程 2x+3y-8=0,用含 x 的式子表示 y 为 y=-2
3x+8
3 ,用含 y 的式子表示 x 为 x=-3
2
y+4 .
知识点 2 用代入法解二元一次方程组
3.用代入法解二元一次方程组{4x + 5y = 3,
3x - y = 7 时,比较简便的变形是 (D)
A.x=3 - 5y
4
B.y=3 - 4x
5
C.x=y + 7
3
D.y=3x-7
4.用代入法解方程组:
(1){x - 3y = 2,
y = x.
解:方程组的解为{x = -1,
y = -1.
(2){4x + 3y = 5,
x - 2y = 4.
解:方程组的解为{x = 2,
y = -1.
知识点 3 用代入法解二元一次方程组的简单应用2
5.(海南中考)在某市“棚户区改造”建设工程中,有甲、乙两种车辆参加运土,已知 5 辆甲
种车和 2 辆乙种车一次共可运土 64 立方米,3 辆甲种车和 1 辆乙种车一次共可运土 36 立方
米,求甲、乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米.
解:设甲种车每辆一次运土 x 立方米,乙种车每辆一次运土 y 立方米.
由题意得{5x + 2y = 64,
3x + y = 36, 解得{x = 8,
y = 12.
答:甲种车每辆一次运土 8 立方米,乙种车每辆一次运土 12 立方米.
综合能力提升练
6. 二元一次方程组{x + y = 2,
2x - y = 4的解是 (B)
A.{x = 0
y = 2 B.{x = 2
y = 0 C.{x = 3
y = -1 D.{x = 1
y = 1
7. 若二元一次方程组{7x - 3y = 8,
3x - y = 8 的解为 x=a,y=b,则 a+b= (A)
A.24 B.0 C.-4 D.-8
8.用代入法解方程组{2x + 3y = 8, ①
3x - 5y = 5, ②有以下过程,其中开始出现错误的一步是 (C)
(1)由①得 x=8 - 3y
2 ; ③
(2)把③代入②得 3×8 - 3y
2 -5y=5;
(3)去分母得 24-9y-10y=5;
(4)解得 y=1,再由③得 x=2.5.
A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)
9. 如果方程组{x + y = 1,
ax + by = c有唯一的一组解,那么 a,b,c 的值应当满足 (B)
A.a=1,c=1 B.a≠b
C.a=b=1,c≠1 D.a=1,c≠1
10.若方程组{5x - 4y = m,
3x + 5y = 8 中 x 与 y 互为相反数,则 m= -36 .
【变式拓展】若方程组{x + 4 = y,
2x - y = 2a中的 x 是 y 的 2 倍,则 a= -6 .
11.(哈尔滨中考)美术馆举办的一次画展中,展出的油画作品和国画作品共有 100 幅,其中油
画作品数量比国画作品数量的 2 倍多 7 幅,则展出的油画作品有 69 幅.
12. 已知{x = 2,
y = 1 是关于 x,y 的二元一次方程组{ax + by = 7,
ax - by = 1 的一组解,则 a+b= 5 . 3
13. 已知 x,y 满足方程组{x - 2y = 5,
x + 2y = -3,则 x2-4y2 的值为 -15 .
14.在等式 y=kx+b 中,当 x=1 时,y=2;当 x=-1 时,y=-4.求当 x=-2 时,y 的值.
解:由题意得{k + b = 2,
-k + b = -4,解得{k = 3,
b = -1.
所以等式为 y=3x-1,
当 x=-2 时,y=3×(-2)-1=-7.
15.已知|a+b-8|+(a-3b)2=0,求 a,b 的值.
解:由题意得{a + b - 8 = 0,
a - 3b = 0, 解得{a = 6,
b = 2.
16. 对于任意实数 a,b,定义关于“”的一种运算如下:ab=2a+b.例如 34=2×3+4=10.
(1)求 2(-5)的值;
(2)若 x(-y)=2,且 2yx=-1,求 x+y 的值.
解:(1)2(-5)=2×2+(-5)=4-5=-1.
(2)∵x(-y)=2,且 2yx=-1,
∴{2x - y = 2,
4y + x = -1,解得{x = 7
9,
y = - 4
9,
∴x+y=7
9 - 4
9 = 1
3.
17.先阅读材料,然后解方程组.
材料:解方程组{ x - y = 1,①
4(x - y) - y = 5,②
把①代入②,得 4×1-y=5,解得 y=-1.4
把 y=-1 代入①,得 x=0.
所以方程组的解为{x = 0,
y = -1.
这种方法被称为“整体代入法”.你若留心观察,有很多方程组可采用此方法解答,请用这种
方法解方程组{x - 3y - 8 = 0,
2x - 6y + 5
7 + 2y = 9.
解:方程组的解为{x = 17,
y = 3.
拓展探究突破练
18.已知方程组{x - y = 5,
ax + 3y = b - 1.
分别求:(1)有无数多个解时 a,b 的值;(2)有唯一解时 a,b 的值;(3)无解时 a,b 的值.
解: x-y=5, ①
ax+3y=b-1, ②
由①得 x=y+5. ③
将③代入②,得 a(y+5)+3y=b-1,
即(a+3)y=-5a+b-1.
(1)当{a + 3 = 0,
-5a + b - 1 = 0,即{a = -3,
b = -14时,原方程组转化为{x - y = 5,
x - y = 5,那么满足 x-y=5 的
x,y 的值有无数对,
即当 a=-3,b=-14 时,原方程组有无数多个解.
(2)当 a≠-3 时,y 有唯一解 y= -5a + b - 1
a + 3 ,
即当 a≠-3,b 为任意实数时,原方程组有唯一解.
(3)当{a + 3 = 0,
-5a + b - 1 ≠ 0即{a = -3,
b ≠ -14时,原方程组转化为{x - y = 5,
x - y ≠ 5,因为这两个方程互
相矛盾,所以方程组无解,
即当 a=-3,b≠-14 时,原方程组无解.
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