13．1.2 线段的垂直平分线的性质
1．线段垂直平分线上的点与这条线段__两个端点__的距离相等．
2．与一条线段__两个端点距离相等__的点，在这条线段的垂直平分线上．
3．如果两个图形成轴对称，那么其对称轴是任何一对对应点所连线段的__垂直平分线__．
4．对于轴对称图形，连接任意一对对应点，作所连线段的__垂直平分线__，可得到这个轴对称图形的__对称轴__．
■ 易错点睛 ■
1．已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB，下列结论：①OA＝OB，②PO⊥AB，③∠APO＝∠BPO，④点P在线段AB的垂直平分线上．其中结论正确的序号有__④__.
【点睛】易出现如图的错误．
2．等腰三角形的对称轴是( D )
A．底边上的高 B．底边上的中线
C．顶角的角平分线 D．底边的垂直平分线
【点睛】对称轴是直线而不是线段．
知识点一 线段垂直平分线的性质
1．如图，AD是线段BC的垂直平分线，垂足为D，下列结论：①AB＝AC；②∠B＝∠C；③∠BAD＝∠CAD；④BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°.其中结论正确的个数( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于D，若∠CBD＝30°，则∠A＝__30°__.
4
3．(2016·荆州改)如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于点D，交边AC于点E，若△ABC与△EBC的周长分别是40和24，求AB的长．(导学号：58024134)
【解题过程】
解：设AB＝x，BC＝y，则
∴x＝16，∴AB＝16.
知识点二 线段垂直平分线的判定
4．如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段__AC__的垂直平分线上．
5．如图，AB＝AC，DB＝DC，E是AD上一点，求证：BE＝CE.(导学号：58024135)
【解题过程】
证明：连接BC，证AD是BC的垂直平分线即可．
知识点三 作轴对称图形的对称轴
6．作出下列轴对称图形的对称轴．
7．【教材变式】(P66第12题改)如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n
4
的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．(导学号：58024136)
【解题过程】
解：作∠mOn的平分线l1，作AB的垂直平分线l2，l1和l2的交点P即为发射塔的位置．
8．【教材变式】(P93第10题改)如图，AD是△BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F.(导学号：58024137)
(1)求证：DE＝DF；
(2)求证：AD垂直平分EF.
【解题过程】
证明：线段垂直平分线的判定有两种方法：
(1)用定义法证，即证AD⊥EF，EM＝MF，故只证△AEM≌△AFM即可；
(2)用判定定理证，即证点A在EF的垂直平分线上，点D也在EF的垂直平分线上，为此要先证AE＝AF，DE＝DF即可．
9．如图，△ABC中，D，E在AB上，且D，E分别是AC，BC的垂直平分线上的点．(导学号：58024138)
(1)若△CDE的周长为4，求AB的长；
(2)若∠ACB＝100°，求∠DCE的度数；
(3)若∠ACB＝α(90°＜α＜180°)，则∠DCE＝ 2α－180° .
解：(1)AB＝4；
(2)20°；
(3)2α－180°.
点评：本题要注意用整体的思想．
10．某城市有A，B两所高级中学，在其不远处有两所初级中学C，D
4
，现在要在它们之间建一个篮球场，使篮球场到A，B的距离相等，同时到C，D的距离也相等，请在图中用尺规作图标出篮球场的位置．(导学号：58024139)
【解题过程】
解：作AB和CD的垂直平分线，两垂直平分线的交点P即为篮球场的位置．
11．(2017·武汉十一中期中模拟题改)如图，△ABC中，点D在AC的垂直平分线上，且BD平分∠ABC，
DF⊥BC于点F.(导学号：58024140)
(1)求证：BC－AB＝2CF；
(2)连接AD，①若∠ABC＝90°，求∠DAC的度数；
②若∠ABC＝α，直接写出∠DAC的度数 α .
【解题过程】
解：(1)证明：连接CD，作DG⊥AB于G，证△DCF≌△DAG，
∴CF＝AG，易证BF＝BG，
∴BC－AB＝(BF＋CF)－(BG－AG)＝CF＋AG＝2CF；
(2)①由(1)得∠ADC＝∠GDF＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°；
②∠ADC＝∠GDF＝180°－α，∴∠DAC＝∠DCA＝＝α.
4
微信/支付宝扫码支付