13．3.3 等边三角形的性质与判定
1．等边三角形的性质：(1)等边三角形的三个内角都__相等__，并且每一个内角都等于__60°__；(2)等边三角形是__轴对称__图形，它有__3__条对称轴．
2．等边三角形的判定：(1)三条边都__相等__的三角形是等边三角形；(2)三个角都__相等__的三角形是等边三角形；(3)有一个角是__60°__的等腰三角形是等边三角形．
■ 易错点睛 ■
如图，等边△ABC的边长为6，点D为直线BC上一点，BD＝2，DE∥AB交直线AC于E，则DE的长为__4或8__.
【点睛】点D可能在点B的右边，也可能在点B的左边．
知识点一 等边三角形的性质
1．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于D，若AB＝4，则BD＝__2__，∠BAD＝__30°__.
2．等边三角形的两条中线相交所成的锐角是__60°__.
3．如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的大小是__120°__.
4．如图，CD是等边△ABC的角平分线，DE∥BC，若△ABC的周长为6，则△ADE的周长为__3__.
5．如图，△ABC是等边三角形，△BCD是等腰直角三角形，BC＝CD，求∠ADB的度数．
7
【解题过程】
解：30°.
知识点二 等边三角形的判定
6．如图，D，E分别是等边△ABC的边CA，BA延长线上一点，下列结论：①若BE＝CD，则△ADE是等边三角形；②若DE∥BC，则△ADE是等边三角形．其中结论正确的序号是( C )
A．① B．②
C．①② D．都不对
7．如图，△ABC为等边三角形，∠1＝∠2＝∠3，求证：△DEF为等边三角形．(导学号：58024188)
【解题过程】
证明：∠DEF＝∠2＋∠CAE＝∠1＋∠CAE＝60°，同理∠EDF＝60°，∠DFE＝60°，
故△DEF为等边三角形．
8．如图，E为等边△ABC的边BC上一点，∠CAE＝∠CBD，AE＝BD，求证：△CDE为等边三角形．(导学号：58024189)
【解题过程】
证明：△CAE≌△CBD，∴CD＝CE，
∴∠DCB＝∠ACE＝60°，
∴△CDE为等边三角形．
9．(2017·武汉十一中学月考改)如图，△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC交BC于点
7
D，F是AD的中点，AE⊥AD交BF的延长线于E.(导学号：58024190)
(1)求证：BF＝EF；
(2)求的值．
【解题过程】
解：(1)证△AEF≌△DBF；
(2).
10．(2017·武汉六中月考改)如图，在等边△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于E，延长DE至F，CG⊥DF于点G，且DG＝FG.(导学号：58024191)
(1)求证：BD＝CE；
(2)求证：EF＝BC.
【解题过程】
证明：(1)易证△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∵AB＝AC，∴BD＝CE；
(2)连接CD，∵CG⊥DF，DG＝FG，∴CF＝CD，设∠F＝∠CDF＝x，则∠BDC＝180°－∠ADC＝180°－(60°＋x)＝120°－x，∠ECF＝∠ECG＋∠GCF＝30°＋(90°－x)＝120°－x，∴∠BDC＝∠ECF，∴△BDC≌△ECF，∴EF＝BC.
11．(2016·湖州改)已知△ABC是等边三角形，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，AD＝CE，DE交AC于点F.(导学号：58024192)
图1 图2
(1)如图1，求证：DF＝EF；
7
(2)如图2，DH⊥AC于点H，求的值．
【解题过程】
解：(1)证明：作DG∥BC交AC于G，证△CEF≌△GDF.
(2)；方法一：作DG∥BC交AC于G，先证GH＝AH，再证GF＝CF；
方法二：作EM⊥AC于M，先证CM＝AH，再证HF＝MF.
13．3.4 含有30°角的直角三角形
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__一半__．
■ 易错点睛 ■
已知△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，AC＝2BD，则∠BAC＝__30°或150°__.
【点睛】易忽略图中△ABC的顶角为钝角而漏解．
知识点 含30°的角的直角三角形的性质
1．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，若BC＝2，则AB等于__4__.
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD＝2，则∠BCD＝__30°__，BC＝__4__，AD＝__6__.
3．(2016·毕节改)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝__2__.(导学号：58024193)
4．(2016·黄冈改)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为__9__.(导学号：58024194)
7
5．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝15°，BD⊥AC于D，若BD＝5，则AB＝__10__，S△ABC＝__25__.
6．(2016·温州改)如图，在等边△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，DE∥AB，EF⊥DE，交BC的延长线于点F，若CE＝2，求DF的长．(导学号：58024195)
【解题过程】
解：易证△DCE为等边三角形，∴∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝4.
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于点D，求证：AD＝AB.
【解题过程】
证明：略．
8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝1，求CE的长．(导学号：58024196)
【解题过程】
解：连接AD，则AD＝2AE＝2，AC＝2AD＝4，∴CE＝3.
9．【教材变式】(P92第7题改)如图，△ABE是等边三角形，C为BE的中点，CD⊥AB于D.求 的值．(导学号：58024197)
【解题过程】
7
解：连接AC，证AC⊥BE，∠BCD＝∠BAC＝30°.
设BD＝x，则BC＝2x，AB＝4x，
∴AD＝3x，
∴＝.
10．(2016·扬州改)如图，△PON中，∠PON＝60°，OP＝12，点M在ON上，且PM＝PN，若OM＝3，求MN的长．(导学号：58024198)
【解题过程】
解：作PE⊥MN于E，则OE＝OP＝6，∴ME＝3＝EN，
∴MN＝6.
11．如图，等边△ABC的边长为8，E为AC上一动点，ED⊥AB于D，DF⊥BC于F，设CE＝x.(导学号：58024199)
(1)若x＝2，求CF的长；
(2)若DE＝DF，求x的值．
【解题过程】
解：(1)∵AE＝6，∴AD＝3，∴BD＝5，∴BF＝，∴CF＝；
(2)AE＝8－x，AD＝，∴BD＝8－.
∵DE＝DF，∴△ADE≌△BFD，∴AE＝BD，
∴8－x＝8－，∴x＝，∴CE＝.
12．如图1，已知△ABC是等边三角形，D，E分别是AB，BC上的点，且BD＝CE，AE，CD交于点F.(导学号：58024200)
(1)求证：△ACE≌△CBD；
7
(2)过A作AG⊥CD于G，求证：AF＝2FG；
(3)如图2，若BF⊥AF，求的值．
图1 图2
【解题过程】
解：(1)略；
(2)证∠AFG＝60°即可．
(3)过A作AG⊥DF于G，证△ACG≌△BAF，
∴CG＝AF＝2FG，∴CF＝FG，∴＝.
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