微专题 构造等腰三角形技巧(四)截长补短法
【方法技巧】 运用截长补短法在构造全等三角形的同时，也可构造出等腰三角形来实现边、角之间的转换．
基本图形1：如图1，△ABC中，∠C＝36°，CA＝CB，∠1＝∠2，则CD＝AD＝AB.
基本图形2：如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠1＝∠2，DE⊥AB于点E，则AC＝BC＝AE，CD＝DE＝BE.
一、90°的等腰三角形
1．如图，△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，若AC＋CD＝AB，求∠C的度数．(导学号：58024185)
【解题过程】
解：方法一：(截长法)在AB上截取AE＝AC，则△ADC≌△ADE，∴CD＝DE.
∵AC＋CD＝AB，∴CD＝BE，∴DE＝BE.
设∠BAC＝∠B＝x，则∠AED＝2x＝∠C，∴x＋x＋2x＝180°，x＝45°，∴∠ACB＝90°；
方法二：(补短法)延长AC至M，使CM＝CD，连接DM，证△ABD≌△AMD也可解决问题．
二、100°的等腰三角形
2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，CD平分∠ACB交AB于点D，E为BC上一点，BE＝DE.求证：BC＝CD＋AD.(导学号：58024186)
【解题过程】
证明：方法一：(截长法)在CB上截取CF＝AC，则△ACD≌△FCD，AD＝DF，
再证∠DEF＝80°＝∠DFE，∴DF＝DE.
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又易证CD＝CE，
∴BC＝CE＋BE＝CD＋AD；
方法二：(作垂线)过D作DM⊥BC于M，作DN⊥AC于N，证△DEM≌△DAN，∴AD＝DE＝BE，再证CD＝CE即可．
三、108°的等腰三角形
3．如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：AB＝AD＋BC.(导学号：58024187)
【解题过程】
证明：方法一：(截长法)，在AB上截取BE＝BC，连接DE，△BCD≌△BED，
易求∠AED＝∠ADE＝72°，∴AD＝AE，
∴AB＝BE＋AE＝BC＋AD；
方法二：(补短法)，延长BC至F，使BF＝AB，连接FD，只证AD＝DF＝CF即可．
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