13．4 课题学习 最短路径问题
1．两点的所有连线中，__线段__最短．
2．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，__垂线段__最短．
■ 易错点睛 ■
如图，A，B在直线l异侧，在直线l上取一点P，使PA＋PB最小．
【解】连接AB交直线l于P，此时PA＋PB最小．
【点睛】易模仿课本上的解法而出错．
知识点一 应用垂线段最短求最值
1．如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是( B )
A．PA B．PB
C．PC D．PD
2．如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从点A处引到田里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短，找出点P的位置并说明理由．
【解题过程】
解：略．
3．如图，四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝2，∠ACD＝∠B，E是AB上一动点，求CE的最小值．(导学号：58024201)
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【解题过程】
解：作CF⊥AB于F，则CE的最小值为CF.易证AC平分∠DAB，∴CF＝CD＝2.
知识点二 运用两点之间线段最短求最值
4．如图，在平面直角坐标系中，点A(－2,4)，B(4,2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是( C )
A．(－2,0) B．(4,0)
C．(2,0) D．(0,0)
5．如图，A，B在直线l同侧，在直线l上求作一点P，使PA＋PB最小(保留作图痕迹)．
【解题过程】
解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，点P即为所求．
6．【教材变式】(P86问题1改)如图，A，B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△PAB的周长最小．
【解题过程】
解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，点P即为所求．
7．如图，在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题(用直尺画图)．
(1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关于直线DE对称的△A1B1C1；
(2)在DE上画出点P，使PB1＋PC最小；
(3)在DE上画出点Q，使QA＋QC最小．
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【解题过程】
解：(1)如题图；(2)如题图；(3)如题图．
8．【教材变式】(P86问题2改)如图，要在一条河上架一座桥MN(河的两岸互相平行，桥与河岸垂直)，在如下四种方案中，使得E，F两地的路程最短的是( B )
EM与河岸垂直 EM∥FN E，M，F共线 FN与河岸垂直
A B C D
9．如图，A，B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使|PB－PA|的值最大．
【解题过程】
解：连接BA并延长交直线l于P，点P即为所求．
10．如图，A，B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使|PA－PB|的值最大．
【解题过程】
解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B并延长交直线l于P，点P即为所求．
11．如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝10，点M，N分别在OA，OB上，求△PMN周长的最小值．(导学号：58024202)
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【解题过程】
解：分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，此时△PMN周长最小，周长＝P1P2，
∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝10.
12．【中考改编】(2016·武汉中考改)如图，点A，B分别为∠MON的边上的定点，在∠MON的两边ON，OM上分别找两点P，Q，使得AP＋PQ＋QB最小(保留作图痕迹，不要求写作法)．(导学号：58024203)
【解题过程】
解：见图．
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