回归教材 延长法构造等腰三角形和全等三角形
教材母题► (教材P52第7题)如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB的平分线．(导学号：58024213)
【解题过程】
证明：方法一：作EF⊥AD于F，证CE＝EF，EF＝BE即可；
方法二：延长AB，DE交于点G，证AD＝AG，DE＝EG即可．
【变式训练1】 如图，AB∥CD，∠1＝∠2，E是BC的中点．(导学号：58024214)
(1)求证：AE⊥DE；
(2)求证：AE平分∠DAB；
(3)求证：AD＝AB＋CD；
(4)求证：S△ADE＝S四边形ABCD.
【解题过程】
证明：方法一：(1)延长AB，DE交于点F，则△DCE≌△FBE，∴DE＝EF.∵∠1＝∠2＝∠F，
∴AD＝AF，∴AE⊥DE；
(2)∵AD＝AF，DE＝EF，∴AE平分∠DAB；
(3)∵AD＝AF，CD＝BF，∴AD＝AB＋CD；
(4)∵△AED≌△AEF，△DCE≌△FBE，
∴S△ADE＝S四边形ABCD；
方法二：作EM⊥AB于M，作EN⊥CD于N，作EH⊥AD于H也可证(1)(2)(3)(4)．
【变式训练2】 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，连接AE，BE，∠1＝∠2，∠3＝∠4.(导学号：58024215)
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(1)求证：DE＝CE；
(2)求证：AD＋BC＝AB；
(3)若AE＝6，BE＝8，求S四边形ABCD.
【解题过程】
解：(1)证明：方法一：延长AE，BC交于点F，证AB＝BF，AE＝EF，△ADE≌△FCE即可；
方法二：在AB上截取AG＝AD，再证△BEG≌△BEC即可；
方法三：作EH⊥AB于H，EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，证EH＝EM＝EN，△DEM≌△CEN即可；
(2)由(1)易证；
(3)证S四ABCD＝S△ABF＝2S△ABE＝48.
【点评】用延长法常可回避证明三点共线的问题．
【变式训练3】 如图，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD.(导学号：58024216)
(1)求证：BE＝CE；
(2)求证：AE⊥DE；
(3)求证：AE平分∠DAF.
【解题过程】
证明：(1)延长AB，DE交于点F，则∠1＝∠2＝∠F，
∴AD＝AF.
∵AD＝AB＋CD，∴DC＝BF，
∴△DCE≌△FBE，
∴CE＝BE；
(2)由(1)知DE＝EF，AD＝AF，∴AE⊥DE；
(3)由(1)知DE＝EF，AD＝AF，∴AE平分∠DAF.
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