微专题 构造等腰三角形技巧(三)折半加倍法
【方法技巧】 在已知条件中出现二倍角关系时，可作二倍角的平分线构造等腰三角形，或延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构造两个等腰三角形，将倍角关系转化为等角关系．
基本图形：△ABC中，∠ABC＝2∠C，①如图1，作∠ABC的平分线交AC于D，则可构造等腰△DBC.②如图2，延长CB到D，使BD＝AB，则可构造等腰△ABD和等腰△ACD.
一、作二倍角的平分线构造等腰三角形
1．如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，求证：2AC＞AB.
【解题过程】
证明：延长BC至D，使CD＝AC，则AB＝AD，
∵AC＋CD＞AD，
∴2AC＞AB.
2．如图，△ABC中，∠ACB＝2∠A，AC＝2BC，求证：∠B＝90°(2种方法)．(导学号：58024183)
图1 图2
【解题过程】
证明：方法一：如图1，作∠ACB的平分线交AB于D，过D作DE⊥AC于E，证CD＝AD，AE＝CE＝BC，△BCD≌△ECD即可；
方法二：如图2，作∠ACB的平分线交AB于D，延长CB至E，使CE＝AC，先证△ACD≌△ECD，再证CD＝DE，BC＝BE，
∴DB⊥CE.
二、延长二倍角的一边构造等腰三角形
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于点D，求证：AC＋AD＝BC(3种方法)．(导学号：58024184)
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图1 图2 图3
【解题过程】
证明：方法一：如图1，延长CA至E，使EA＝AD，证△CDE≌△CDB即可；
方法二：如图2，延长DA至E，使EA＝AC，证ED＝EC＝BC即可；
方法三：如图3，在BC上截取CE＝AC，证AD＝DE＝BE即可．
【点评】方法一、方法二实质是补短法，方法三实质是截长法．
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