回归教材 共顶点的等腰三角形
教材母题►(教材P83页第12题)如图，△ABD和△ACE都是等边三角形．(导学号：58024217)
(1)求证：BE＝CD；
(2)求∠BFC的度数；
(3)求证：FA平分∠DFE；
(4)求证：AF＋BF＝DF.
【解题过程】
解：(1)证△AEB≌△ACD；
(2)由(1)得∠ADC＝∠ABE, ∠BFC＝∠BDF＋∠DBF＝∠BDF＋∠DBA＋∠ABE＝∠DBA＋∠BDF＋∠ADC＝120°；
(3)证明：过点A分别作BE，DC的垂线段AM，AN，垂足分别为M，N，由(1)知△ABE≌△ACD，所以S△AEB＝S△ACD，所以AM＝AN，所以FA平方∠DFE；
(4)证明：由(3)得NF＝MF, ∠AFM＝∠DFE＝∠BFC＝60°，所以NF＝MF＝AF，AF＋BF＝BM＋NF＝DN＋NF＝DF.
一、共顶点的等边三角形
【变式训练1】 如图，△ABC和△CDE都为等边三角形，E在BC上，AE的延长线交BD于F.(导学号：58024218)
(1)求证：AE＝BD；
(2)求∠AFB的度数．
(3)求证：CF平分∠AFD；
(4)直接写出EF，DF，CF之间的数量关系．
【解题过程】
解：(1)即证△CAE≌△CBD即可．
(2)证∠CAE＝∠CBD，故∠AFB＝∠ACB＝60°.
(3)作CM⊥AF于M，作CN⊥DF于N，证△CAM≌△CBN，CM＝CN即可；
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(4)EF＋DF＝CF，用截长补短法可证．
二、共顶点的等腰三角形
【变式训练2】 如图，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝α，CE的延长线交BD于F.(导学号：58024219)
(1)求证：BD＝CE；
(2)求∠DFC的度数(用含α的式子表示)．
【解题过程】
解：(1)证△BDA≌△CEA即可．
(2)证∠BFC＝∠BAC＝α，
∴∠DFC＝180°－α.
三、共顶点的等腰直角三角形
【变式训练3】 (2017·武汉六中月考改编)如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，D，C，B在一条直线上，F，G分别是BE，AD的中点．(导学号：58024220)
(1)求证：BE＝AD；
(2)求∠CFG的度数．
【解题过程】
证明：(1)证△CBE≌△CAD.
(2)连接CG，证△ACG≌△BCF，
△CGF为等腰直角三角形，∴∠CFG＝45°.
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