人教新版数学九年级上学期《第23章旋转》单元测试
一．选择题（共10小题）
1．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
2．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为（ ）
A．70° B．80° C．84° D．86°
4．如图，E是正方形ABCD的边CB延长线上的一点．把△AEB绕着点A逆时针旋转后与△AFD重合，则旋转的角度可能是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
5．如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ）
A．72° B．108° C．144° D．216°
6．已知点A关于x轴的对称点坐标为（﹣1，2），则点A关于原点的对称点的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）
7．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（，0） D．（0，﹣）
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．以A为对称中心作点P（0，2）的对称点P1，以B为对称中心作点P1的对称点P2，以C为对称中心作点P2的对称点P3，以D为对称中心作点P3的对称点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（ ）
A．（2010，2） B．（2010，﹣2） C．（2012，﹣2） D．（0，2）
9．将Rt△AOB 如图放置在直角坐标系中，并绕O点顺时针旋转90°至△COD的位置，已知A（﹣2，0），∠ABO=30°．则△AOB旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ）
A．（4n﹣1，） B．（2n﹣1，） C．（4n+1，） D．（2n+1，）
二．填空题（共6小题）
11．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种．
12．下图右侧有一盒拼板玩具，左侧有五块板a、b、c、d、e，如果游戏时可以平移或旋转，但不能翻动盒中任何一块，那么a、b、c、d、e中， 是盒中找不到的？（填字母代号）
13．将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起拼成如下的图形．若∠EAB=40°，则∠CAD= ；将△ABC绕直角顶点A旋转时，保持AD在∠BAC的内部，设∠EAC=x°，∠BAD=y°，则x与y的关系是 ．
14．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AB=4．动点P从A点出发，以每秒π个单位的速度在⊙O上按顺时针方向运动一周．设动点P的运动时间为t秒，点C是圆周上一点，且∠AOC=40°，当t= 秒时，点P与点C中心对称，且对称中心在直径AB上．
15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），以O旋转中心，将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2
；如此下去，得到线段OP3，OP4，OPn（n为正整数），则点P6的坐标是 ；△P5OP6的面积是 ．
16．在五行五列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子，骰子在棋盘上只能向它所在格的左、右、前、后格翻动．开始时骰子在3C处，如图1，将骰子从3C处翻动一次到3B处，骰子的形态如图2；如果从3C处开始翻动两次，使朝上，骰子所在的位置是 ．
三．解答题（共7小题）
17．如图是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使它成为轴对称图形．
18．如图，已知平面直角坐标系中两点A（﹣1，5）、B（﹣4，1）．
（1）将A、B两点沿x轴分别向右平移5个单位，得到点A1、B1，请画出四边形ABB1A1，并直接写出这个四边形的面积；
（2）画一条直线，将四边形ABB1A1分成两个全等的图形，并满足这两个图形都是轴对称图形．
19．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．
（1）求证：EF=MF；
（2）当AE=1时，求EF的长．
20．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°．将线段CA绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α，且0°＜α＜360°，连接AD、BD．
（1）如图1，当α=60°时，∠CBD的大小为 ；
（2）如图2，当α=20°时，∠CBD的大小为 ；（提示：可以作点D关于直线BC的对称点）
（3）当α为 °时，可使得∠CBD的大小与（1）中∠CBD的结果相等．
21．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD=CD；
（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．
22．在学习了第四章《基本的平面图形》的知识后，小明将自己手中的一副三角板的两个直角顶点叠放在一起拼成如下的图形1和图形2．
（1）在图1中，当AD平分∠BAC时，小明认为此时AB也应该平分∠FAD，请你通过计算判断小明的结论是否正确．
（2）小明还发现：只要AD在∠BAC的内部，当△ABC绕直角顶点A旋转时，总有∠FAB=∠DAC（见图2），请你判断小明的发现是否正确，并简述理由．
（3）在图2中，当∠FAC=x，∠BAD=y，请你探究x与y的关系．
23．如图，在等边△ABC中，点D是AC边上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E．
（1）如图1，连接CE并延长CE交AB于点F，若∠CBD=15°，AB=4，求CE的长；
（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF，连接EF，交BC于G，连接CF，求证：BG=CG．
参考答案
一．选择题
1．C．
2．D．
3．B．
4．A．
5．B．
6．A．
7．B．
8．B．
9．D．
10．C．
二．填空题
11．13．
12．D．
13．40°，y=180﹣x．
14．或或或．
15．512．
16．2B或4B．
三．解答题
17．解：
注：本题画法较多，只要满足题意均可，画对一个得（1分）．
18．解：（1）如图所示的四边形ABB1A1即为要求画的四边形，
S四边形ABB1A1=5×（5﹣1）=20（平方单位）；
（2）如图所示：
∵四边形ABB1A1是平行四边形，
∴直线AB1即为所要求画的直线．
19．（1）证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∵∠EDF=45°，∴∠FDM=45°，
∴∠EDF=∠FDM．
又∵DF=DF，DE=DM，
∴△DEF≌△DMF，
∴EF=MF；
（2）解：设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，AB=BC=3，
∴EB=AB﹣AE=3﹣1=2，BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM﹣MF=4﹣x．
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，
即22+（4﹣x）2=x2，
解得：x=，
则EF的长为．
20．解：（1）∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=40°，当α=60°时，
由旋转的性质得AC=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=100°﹣60°=40°，
∵AB=AC，AD=AC，
∴∠ABD=∠ADB==70°，
∴∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=70°﹣40°=30°，
故答案为：30°；
（2）如图2所示；作点D关于BC的对称点M，连接AM、BM、CM、AM．
则△CBD≌△CBM，
∴∠BCM=∠BCD=∠ACD=20°，CD=CA=CM，
∴∠ACM=60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM=AC=AB，∠MAC=60°，
∴∠BAM=40°，
∵∠CAD=∠CDA=（180°﹣20°）=80°，
∴∠BAD=∠CAD=20°，
∵AD=AD，
∴△DAB≌△DAM，
∴BD=DM，
∵BD=BM，
∴BD=DM=BM，
∴∠DBM=60°，
∴∠DBC=∠CBM=30°，
故答案为30°
（3）①由（1）可知，∠α=60°时可得∠BAD=100°﹣60°=40°，∠ABC=∠ACB=90°﹣=40°，
∠ABD=90°﹣∠BAD=120°﹣=70°，
∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=30°．
②如图3，翻折△BDC到△BD1C，
则此时∠CBD1=30°，
∠BCD=60°﹣∠ACB=﹣30°=20°，
∠α=∠ACB﹣∠BCD1=∠ACB﹣∠BCD=﹣20°=20°；
③以C为圆心CD为半径画圆弧交BD的延长线于点D2，连接CD2，
∠CDD2=∠CBD+∠BCD=30°+﹣30°=50°，
∠DCD2=180°﹣2∠CDD2=180°﹣100°=80°，
∠α=60°+∠DCD2=140°．
综上所述，α为60°或20°或140°时，∠CBD=30°．
故答案为60或20或140．
21．解：（1）由旋转可得，AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD，
∴∠AEB=∠ABE，
又∵∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF，
∴∠EDA=∠DEF，
又∵DE=ED，
∴△AED≌△FDE（SAS），
∴DF=AE，
又∵AE=AB=CD，
∴CD=DF；
（2）如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC=GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM=BH=AD=AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD=GA=DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG=60°，
∴旋转角α=60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG=60°，
∴旋转角α=360°﹣60°=300°．
22．解：（1）小明的结论正确，理由如下：
∵AD平分∠BAC，∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠CAD=45°．
∵∠FAB+∠BAD=90°，
∴∠FAB=45°，
∴∠FAB=∠BAD，
∴AB平分∠FAD．
（2）小明的结论正确，理由如下：
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠FAB+∠BAD=90°，
∴∠FAB=∠DAC．
（3）∵∠FAC=∠FAB+90°，
∴∠FAB=∠FAC﹣90°．
∵∠BAD=90°﹣∠FAB，
∴∠BAD=180°﹣∠FAC，即y=180°﹣x（90＜x＜180°）．
23．解：（1）∵△ABC为等边三角形∴AB=BC=AC=4，∠BAC=60°且∠DBC=15°∴∠ABE=45°且AE⊥BD∴∠BAE=∠ABE=45°∴AE=BE，且AC=BC
∴CF垂直平分AB即AF=BF=2，CF⊥AB∵∠ABE=45°∴∠FEB=∠ABE=45°∴BF=EF=2，∵Rt△BCF中，CF==2∴CE=2﹣2
（2）如图2：过点M作CM∥BD
∵将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF
∴AE=AF，∠EAF=60°，
∴△AEF为等边三角形
∴∠AFE=∠AEF=60°
∴∠FAC+∠EAC=60°，且∠BAE+∠EAC=60°
∴∠BAE=∠CAF，且AB=AC，AE=AF
∴△ABE≌△ACF
∴BE=CF，∠AEB=∠AFC=90°
∴∠BEF=150°，∠MFC=30°
∵MC∥BD
∴∠BEF=∠GMC=150°，
∴∠CMF=30°=∠CFM
∴CM=CF且CF=BE
∴BE=CM且∠BGE=∠CGM，∠BEG=∠CMG
∴△BGE≌△GMC
∴BG=GC
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