2018年秋人教版九年级上《第23章旋转》单元测试题（含解析）.doc

‎2018年秋人教版九年级上册 第23章 旋转 单元测试题 数 学 试 卷 考试时间：120分钟；满分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 题号 一 二 三 总分 得分 ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）‎ ‎1．（3分）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转的有（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎2．（3分）如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B沿顺时针方向旋转后与△CBP1重合，若PB=5，那么PP1=（　　）‎ A．5 B．‎5‎ C．6 D．5‎ ‎3．（3分）下列图形中，（　　）旋转90°后能与自身重合．‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（3，6），B（1，3）．若将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标为（　　）‎ ‎ ‎ A．（8，2） B．（9，2） C．（8，3） D．（9，3）‎ ‎5．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，则下列说法不正确的是（　　）‎ A．S△ACB= B．AB=A′B′‎ C．AB∥A′B′，A′C′∥AC，BC∥B′C′ D．=S△ACO ‎6．（3分）在下列几何图形中：（1）两条互相平分的线段；（2）两条互相垂直的直线；（3）两个有公共顶点的角；（4）两个有一条公共边的正方形．其中是中心对称图形的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎7．（3分）点P（‎2a+1，4）与P′（1，3b﹣1）关于原点对称，则‎2a+b=（　　）‎ A．﹣3 B．﹣‎2 ‎C．3 D．2‎ ‎8．（3分）下列图形中，既可以通过轴对称变换，又可以通过旋转变换得到的图形是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（3分）如图，将Rt△ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB‎1C1的位置，使得点B、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（　　）‎ A．30° B．60° C．90° D．180°‎ ‎10．（3分）已知点P（‎3a﹣9，1﹣a）是第三象限的点，且横坐标、纵坐标均为整数，若P、Q关于原点对称，点Q的坐标为（　　）‎ A．（﹣3，﹣1） B．（3，1） C．（1，3） D．（﹣1，﹣3）‎ ‎11．（3分）根据指令[s，A]（s≥0，0°≤A＜360°）机器人在平面上能完成如下动作：先在原地顺时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离s．现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对y轴的负方向，为使其移动到点（﹣3，0），应下的指令是（　　）‎ A．[3，90°] B．[90°，3] C．[﹣3，90°] D．[3，270°]‎ ‎12．（3分）如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）‎ ‎13．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=　 　．‎ ‎14．（3分）点A（﹣3，m）和点B（n，2）关于原点对称，则m+n=　 　．‎ ‎15．（3分）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有　 　个．‎ ‎16．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△DEC，连接AD，若∠BAC=25°，则∠BAD=　 　．‎ ‎17．（3分）下列图形中，　 　是中心对称图形（只需填序号）．‎ ‎18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为　 　．‎ ‎19．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△‎ ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为　 　．‎ ‎20．（3分）如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知θ=60°，点M的斜坐标为（3，2），点N与点M关于y轴对称，则点N的斜坐标为　 　．‎ ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三．解答题（共6小题，满分60分）‎ ‎21．（8分）如图，△ABC中，AD是中线，将△ACD旋转后与△EBD重合．‎ ‎（1）旋转中心是点　 　，旋转了　 　度；‎ ‎（2）如果AB=7，AC=4，求中线AD长的取值范围．‎ ‎22．（8分）如图所示，点D是等边△ABC内一点，DA=13，DB=19，DC=21，将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，求△DEC的周长．‎ ‎23．（10分）如图．矩形ABCD的顶点B，C在坐标轴上，顶点D的坐标是（3，3），若直线y=mx恰好将矩形分成面积相等的两部分，求m的值．‎ ‎24．（10分）如图，△ABC与△ADE关于点A成中心对称．‎ ‎（1）点A、B、C的对应点分别是什么？‎ ‎（2）点C、A、E的位置关系怎样？‎ ‎（3）指出图中相等的线段和相等的角．‎ ‎25．（12分）如图，在等边△ABC中，点D是AC边上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E．‎ ‎（1）如图1，连接CE并延长CE交AB于点F，若∠CBD=15°，AB=4，求CE的长；‎ ‎（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF，连接EF，交BC于G，连接CF，求证：BG=CG．‎ ‎26．（12分）如图，矩形ABCD中，AC=2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F=AB．‎ ‎（1）求证：AE=C′E．‎ ‎（2）求∠FBB'的度数．‎ ‎（3）已知AB=2，求BF的长．‎ ‎　‎ ‎2018年秋人教版九年级上册 第23章 旋转 单元测试题 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）‎ ‎1．‎ ‎【分析】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解．‎ ‎【解答】解：①地下水位逐年下降，是平移现象；‎ ‎②传送带的移动，是平移现象；‎ ‎③方向盘的转动，是旋转现象；‎ ‎④水龙头开关的转动，是旋转现象；‎ ‎⑤钟摆的运动，是旋转现象；‎ ‎⑥荡秋千运动，是旋转现象．‎ 属于旋转的有③④⑤⑥共4个．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了生活中的平移，是基础题，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．‎ ‎【分析】依题意得，旋转中心为点B，旋转角∠PBP1=∠ABC=90°，对应点P、P1到旋转中心的距离相等，即BP=BP1=5，可证△BPP1为等腰直角三角形，由勾股定理求PP1．‎ ‎【解答】解：根据旋转的性质可知，∠PBP1=∠ABC=90°，BP=BP1=5，‎ ‎∴△BPP1为等腰直角三角形，‎ 由勾股定理，得PP1=．故选D．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的两个性质：①旋转角相等，②对应点到旋转中心的距离相等．解题时要注意是按顺时针旋转．‎ ‎　‎ ‎3．‎ ‎【分析】根据图形特征，找出基本图形和旋转中心即可进行判断．‎ ‎【解答】解：第一个图形旋转的最小度数是60度，错误；‎ 第二个图形旋转的最小角度是60度，错误；‎ 第三个图形的旋转的最小的度数是90度，正确；‎ 第四个图形的旋转的最小的度数是72°，错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．‎ ‎【链接】旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．‎ ‎　‎ ‎4．‎ ‎【分析】根据网格结构作出点A、B、C绕点C顺时针旋转90°后的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标即可．‎ ‎【解答】解：如图所示，△A′B′C′即为△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形，‎ 点A′（8，3）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，熟练掌握网格结构准确作出图形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的性质，结合选项作出判断即可．‎ ‎【解答】解：A、根据中心对称的两个图形全等，即可得到，故本选项正确；‎ B、成中心对称的两图形全等，对应线段相等，故本选项正确；‎ C、根据对称点到对称中心的距离相等，即可证得对应线段平行，故本选项正确；‎ D、=S△ABO≠S△ACO，本选项错误．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了中心对称图形的性质，要求同学们掌握中心对称图形全等，且对称点到对称中心的距离相等等性质．‎ ‎　‎ ‎6．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：根据中心对称图形的概念，知 ‎（3）不一定是中心对称图形；（1）、（2）、（4）都是中心对称图形．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．‎ 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．‎ ‎　‎ ‎7．‎ ‎【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）可得到a，b的值，再代入‎2a+b中可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵点P（‎2a+1，4）与P′（1，3b﹣1）关于原点对称，‎ ‎∴‎2a+1=﹣1，3b﹣1=﹣4，‎ ‎∴a=﹣1，b=﹣1，‎ ‎∴‎2a+b=2×（﹣1）+（﹣1）=﹣3．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了坐标系中的点关于原点对称的坐标特点．注意：关于原点对称的点，横纵坐标分别互为相反数．‎ ‎　‎ ‎8．‎ ‎【分析】根据轴对称变换与旋转变换的定义作答．‎ ‎【解答】解：A、只能通过旋转得到，错误；‎ B、只能通过轴对称得到，错误；‎ C、只能通过轴对称得到，错误；‎ D、可沿图形中间的任意一条直线翻折得到，或以中间两条直线的交点为旋转中心，把一个基本图形连续旋转3个90°得到．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，进行分析判断．‎ ‎　‎ ‎9．‎ ‎【分析】先判断出旋转角最小是∠CAC1，根据旋转的性质即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB‎1C1的位置，使得点B、A、B1在同一条直线上，‎ ‎∴旋转角最小是∠CAC1，‎ ‎∴∠CAC1=180°，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查是旋转的性质，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．‎ ‎【分析】首先根据P点所在象限确定出a的取值范围，再根据横纵坐标均为正数确定出a的值，然后可得到P点坐标，再求出关于原点对称的点的坐标即可．‎ ‎【解答】解：∵点P（‎3a﹣9，1﹣a）是第三象限的点，‎ ‎∴‎3a﹣9＜0，1﹣a＜0，‎ ‎∴1＜a＜3，‎ ‎∵横坐标、纵坐标均为整数，‎ ‎∴a=2，‎ ‎∴P点的坐标为（﹣3，﹣1），‎ ‎∵P、Q关于原点对称，‎ ‎∴点Q的坐标是（3，1）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．‎ ‎　‎ ‎11．‎ ‎【分析】若顺时针旋转90°，则机器人面对x轴负方向，根据向x轴负半轴走3个单位可得相应坐标．‎ ‎【解答】解：根据点（0，0）到点（﹣3，0），即可知机器人先顺时针转动90°，再向左平移3个单位，‎ 于是应下指令为[3，90°]．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了求新定义下的点的旋转坐标；理解所给定义得到移动后的规律是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．‎ ‎【分析】作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，根据旋转变换的性质得到△MBC是等边三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH、CH，根据三角形的面积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，‎ 则BG=GC，AB∥MG∥CD，‎ ‎∴AM=MN，‎ ‎∵MH⊥CD，∠D=90°，‎ ‎∴MH∥AD，‎ ‎∴NH=HD，‎ 由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，‎ ‎∴MC=BC=a，‎ 由题意得，∠MCD=30°，‎ ‎∴MH=MC=a，CH=a，‎ ‎∴DH=a﹣a，‎ ‎∴CN=CH﹣NH=a﹣（a﹣a）=（﹣1）a，‎ ‎∴△MNC的面积=××（﹣1）a=a2，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质、平行线的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）‎ ‎13．‎ ‎【分析】首先证明∠ACC′=∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠CAC′=30°即可解决问题．‎ ‎【解答】解：由题意得：‎ AC=AC′，‎ ‎∴∠ACC′=∠AC′C；‎ ‎∵CC′∥AB，且∠BAC=75°，‎ ‎∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°，‎ ‎∴∠CAC′=180°﹣2×75°=30°；‎ 由题意知：∠BAB′=∠CAC′=30°，‎ 故答案为30°．‎ ‎【点评】此题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，得出AC=AC′，∠BAC=∠ACC′=75°是解题关键．‎ ‎　‎ ‎14．‎ ‎【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得出m、n的值，代入可得出代数式的值．‎ ‎【解答】解：∵点A（﹣3，m）和点B（n，2）关于原点对称，‎ ‎∴m=﹣2，n=3，‎ 故m+n=3﹣2=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，注意掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．‎ ‎　‎ ‎15．‎ ‎【分析】利用轴对称图形的性质分别得出符合要求的答案即可．‎ ‎【解答】解：如图所示：与△ABC成轴对称的有△ACG、△AFE、△BFD、△CHD、△CGB一共有5个．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，根据已知得出所有符合要求的答案注意不要漏解．‎ ‎　‎ ‎16．‎ ‎【分析】根据旋转的性质可得AC=CD，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，由∠BAD=∠BAC+∠CAD可得答案．‎ ‎【解答】解：∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，‎ ‎∴AC=CD，‎ ‎∴△ACD是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠CAD=45°，‎ 则∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°+45°=70°，‎ 故答案为：70°．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．‎ ‎【分析】由中心对称图形的定义，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：如图所示：只有C，D选项是中心对称图形．‎ 故答案为：C，D．‎ ‎【点评】此题考查了中心对称图形的定义．注意理解中心对称图形的定义是关键．‎ ‎　‎ ‎18．‎ ‎【分析】由旋转的性质得到AD=EF，AB=AE，再由DE=EF，等量代换得到AD=DE，即三角形AED为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，即为AB的长．‎ ‎【解答】解：由旋转得：AD=EF，AB=AE，∠D=90°，‎ ‎∵DE=EF，‎ ‎∴AD=DE，即△ADE为等腰直角三角形，‎ 根据勾股定理得：AE==3，‎ 则AB=AE=3，‎ 故答案为：3‎ ‎【点评】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．‎ ‎【分析】先判断出∠BAD=150°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，‎ ‎∴∠BAD=150°，AD=AB，‎ ‎∵点B，C，D恰好在同一直线上，‎ ‎∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，‎ ‎∴∠B=∠BDA，‎ ‎∴∠B=（180°﹣∠BAD）=15°，‎ 故答案为：15°．‎ ‎【点评】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．‎ ‎【分析】如图作ND∥x轴交y轴于D，作NC∥y轴交x轴于C．MN交y轴于K．利用全等三角形的性质，平行四边形的性质求出OC、OD即可；‎ ‎【解答】解：如图作ND∥x轴交y轴于D，作NC∥y轴交x轴于C．MN交y轴于K．‎ ‎∵NK=MK，∠DNK=∠BMK，∠NKD=∠MKB，‎ ‎∴△NDK≌△MBK，‎ ‎∴DN=BM=OC=3，DK=BK，‎ 在Rt△KBM中，BM=3，∠MBK=60°，‎ ‎∴∠BMK=30°，‎ ‎∴DK=BK=BM=，‎ ‎∴OD=5，‎ ‎∴N（﹣3，5），‎ 故答案为（﹣3，5）‎ ‎【点评】本题考查坐标与图形变化，轴对称等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题，满分60分）‎ ‎21．‎ ‎【分析】（1）根据旋转的性质填空即可；‎ ‎（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，再根据旋转的性质可得DE=AD，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵将△ACD旋转后能与△EBD重合，‎ ‎∴旋转中心是点D，旋转了180度；‎ 故答案为：D，180；‎ ‎（2）∵将△ACD旋转后能与△EBD重合，‎ ‎∴BE=AC=4，DE=AD，‎ 在△ABE中，由三角形的三边关系得，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，‎ ‎∵AB=7，‎ ‎∴3＜AE＜11，即3＜2AD＜11，‎ ‎∴1.5＜AD＜5.5，‎ 即中线AD长的取值范围是1.5＜AD＜5.5．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，熟记各性质并准确识图是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．‎ ‎【分析】先根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，再根据旋转的性质得到AD=AE，CE=BD=19，∠DAE=∠BAC=60°，则可判断△ADE为等边三角形，从而得到DE=AD=13，然后计算△DEC的周长．‎ ‎【解答】解：∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴∠BAC=60°，AB=AC，‎ ‎∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，‎ ‎∴AD=AE，CE=BD=19，∠DAE=∠BAC=60°，‎ ‎∴△ADE为等边三角形，‎ ‎∴DE=AD=13，‎ ‎∴△DEC的周长=DE+DC+CE=13+21+19=53．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．‎ ‎　‎ ‎23．‎ ‎【分析】经过矩形对角线交点的直线把矩形分成面积相等的两个部分．所以先求对角线交点坐标，然后求解．‎ ‎【解答】解：∵直线y=mx恰好将矩形分成面积相等的两部分，‎ ‎∴直线y=mx经过矩形的对角线交点（1，），‎ 把点（1，）代入可得m=．‎ ‎【点评】主要考查了坐标与图形的性质和矩形的性质．解题关键是要熟知对角线的交点是矩形的中心，过中心的直线能把矩形分成面积相等的两个部分．‎ ‎　‎ ‎24．‎ ‎【分析】（1）根据中心对称的定义结合图形即可得到A、B、C的对应点；‎ ‎（2）根据中心对称的定义即可得到结论；‎ ‎（3）根据中心对称的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵△ABC与△ADE是成中心对称的两个图形，‎ ‎∴（1）点点A、B、C的对应点分别是点A，DE；‎ ‎（2）点C、A、E在同一条直线上；‎ ‎（3）AB=AD．AC=AE，BC=DE，∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAC=∠DAE．‎ ‎【点评】本题考查了中心对称，是基础题，准确识图是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．‎ ‎【分析】（1）由∠CBD=15°可得∠ABE=45°且AE⊥BD，可得AE=BE且AC=BC，所以CF是AB的垂直平分线，由AB=4可求EF，CF的长，即可求CE的长．‎ ‎（2）过点M作CM∥BD，通过将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF，可得AE=AF，∠BAE=∠CAF，所以可以证明△ABE≌△ACF，可得BE=CF，‎ ‎∠BEM=150°，∠CFM=30°，由CM∥BD，可证∠CME=150°，即∠FMC=30°，可证CF=CM=BE，然后可证△BEG≌△CMG．所以结论可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形∴AB=BC=AC=4，∠BAC=60°且∠DBC=15°∴∠ABE=45°且AE⊥BD∴∠BAE=∠ABE=45°∴AE=BE，且AC=BC ‎∴CF垂直平分AB即AF=BF=2，CF⊥AB∵∠ABE=45°∴∠FEB=∠ABE=45°∴BF=EF=2，∵Rt△BCF中，CF==2∴CE=2﹣2‎ ‎（2）如图2：过点M作CM∥BD ‎∵将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF ‎∴AE=AF，∠EAF=60°，‎ ‎∴△AEF为等边三角形 ‎∴∠AFE=∠AEF=60°‎ ‎∴∠FAC+∠EAC=60°，且∠BAE+∠EAC=60°‎ ‎∴∠BAE=∠CAF，且AB=AC，AE=AF ‎∴△ABE≌△ACF ‎∴BE=CF，∠AEB=∠AFC=90°‎ ‎∴∠BEF=150°，∠MFC=30°‎ ‎∵MC∥BD ‎∴∠BEF=∠GMC=150°，‎ ‎∴∠CMF=30°=∠CFM ‎∴CM=CF且CF=BE ‎∴BE=CM且∠BGE=∠CGM，∠BEG=∠CMG ‎∴△BGE≌△GMC ‎∴BG=GC ‎【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定，关键是通过角度相等证明CM=CF．‎ ‎　‎ ‎26．‎ ‎【分析】（1）在直角三角形ABC中，由AC=2AB，得到∠ACB=30°，再由折叠的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；‎ ‎（2）由（1）得到△ABB′为等边三角形，利用矩形的性质及等边三角形的内角为60°，即可求出所求角度数；‎ ‎（3）法1：由AB=2，得到B′B=B′F=2，∠B′BF=15°，过B作BH⊥BF，在直角三角形BB′H中，利用锐角三角函数定义求出BH的长，由BF=2BH即可求出BF的长；‎ 法2：连接AF，过A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，分别利用三角函数定义求出MF与AM，根据AM=BM，即BM+MF=BF即可求出．‎ ‎【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，AC=2AB，‎ ‎∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，‎ 由旋转可得：AB′=AB，∠B′AC=∠BAC=60°，‎ ‎∴∠EAC′=∠AC′B′=30°，‎ ‎∴AE=C′E；‎ ‎（2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形，‎ ‎∴∠AB′B=60°，‎ ‎∴∠FBB′=15°；‎ ‎（3）法1：解：由AB=2，得到B′B=B′F=2，∠B′BF=15°，‎ 过B作B′H⊥BF，‎ 在Rt△BB′H中，cos15°=，即BH=2×=，‎ 则BF=2BH=+（cos15°=cos（45°﹣30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=×+×=）；‎ 法2：连接AF，过A作AM⊥BF，‎ ‎（2）可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，‎ ‎∴∠AFB′=45°，‎ ‎∴∠AFM=30°，∠ABF=45°，‎ 在Rt△AMF中，AM=BM=AB•cos∠ABM=2×=，‎ 在Rt△AMF中，MF=，‎ 则BF=+．‎ ‎【点评】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．‎ ‎　‎