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专题 21 推导证明类问题
证明推导题就是结合物理公式和物理规律，用数学的方法，导出一个要得到的等式。在证明过程中需
要用到物理规律，所以灵活理解物理规律，应用物理规律是物理证明推导题的精神所致。光用数学办法得
出的结论是不可靠的。初中阶段在证明题问题中，经常用到平衡力思想、光的反射定律、牛顿第三定律、
串并联电路电流电压特点、重力与质量关系等，应用数学知识经常用到全等三角形、相似三角形、三角函
数等。有时能正确做出图形是完成任务的重要保证。证明推导题在安徽省、天津市中考常出现，在河南省、
河北省、以及湖北、山东等虽然没有直接要求证明推导，但在选择题、填空题、计算题里要用到推导的办
法。所以这类问题也要十分关注。
【例题 1】如图有两平面镜夹角为 θ，有一束光线从 C 点射人经过两次反射从 F 点射出，证明其出射角
γ=2θ．
【答案】见解析。
【解析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
γ=∠FED+∠CDE
平角等于 180°
所以∠FED=180°-2∠DEO
∠CDE=180°-2∠EDO
所以
γ=∠FED+∠CDE
=（180°-2∠DEO）+（180°-2∠EDO）
=360°-2（∠DEO +∠DEO）
在△EDO 中，∠DEO +∠DEO=180°-θ2
所以，
γ=360°-2（∠DEO +∠DEO）=360°-2（180°-θ）=2θ
所以 γ=2θ．
【例题 2】如图，用弹簧测力计称物体重力时，吊着物体在空中静止不动，弹簧测力计示数等于物体的重力.
牛顿第三定律告诉我们：两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反，作用在同一条直线
上.请你依据牛顿第三定律和二力平衡的条件推证：弹簧测力计的示数 F′(即弹簧所受 A 的拉力)就等于物
体 A 的重力 G，即 F′=G.
【答案】见解析。
【解析】先根据处于静止状态或匀速直线运动状态的物体受到平衡力作用，分析物体 A 在水平方向所受的
拉力和摩擦力是一对平衡力；然后再利用作用力与反作用力的关系，分析弹簧测力计对物体 A 的拉力与物
体 A 对弹簧测力计的拉力是一对相互作用力，根据平衡力大小的特点、相互作用力大小的特点以及利用等
效替代法进行证明．
证明：因为物体 A 处于静止状态，物体 A 在竖直方向上受到拉力和重力是一对平衡力，所以弹簧测力
计对物体的拉力等于物体所受重力，即 F=G；
而测力计对物体 A 的拉力 F 与物体 A 对测力计拉力 F′是一对作用力与反作用力,由牛顿第三定律可知：
F= F′,所以 F′=G.
【例题 3】“等效替代法”是物理学中常用的一种方法．若图甲的两个电阻并联后接入电路中的效果与图乙
一个电阻接入电路的效果相同，请你利用并联电路电压、电流的规律及欧姆定律推导出 R 与 R1、R2 的关系
式．
【答案】见解析。3
【解析】本题先利用欧姆定律得出并联电路中各电阻上的电流，然后将各电阻上的电流值，代入并联电路
的电流关系式中，结合并联电路的电压特点即可导出 R 与 R1、R2 的关系式．
根据欧姆定律可得并联电路中两个电阻上的电流分别为：
I1= ；I2= ；一个电阻 R 上的电流为：I= ；
由并联电路的电流关系 I=I1+I2 得：
= + ；
又因为并联电路电压的特点是：U=U1=U2；
所以 = + ．
1．试根据压强是物体所受压力的大小与受力面积之比的定义，推导出密度为ρ 的液体，在液面下深度为 h
处液体产生的压强 P 的表达式。（已知：重力与质量的比值为 g，要求用 ρ、h、g 表示 P）。
【答案】见解析。
【解析】设想液面下 h 深处有一面积为 S 的水平圆面，则水平圆面受到的压力：
F=G=mg=ρVg=ρShg，
则在液面下深度为 h 处液体产生的压强：
p= = =ρgh。
2.如图，AB 两地相距 4km，MN 是与 AB 连线平行的一条小河的河岸，AB 到河岸的垂直距离为 3km，小军要从
A 处走到河岸取水然后送到 B 处，他先沿垂直于河岸的方向到 D 点取水然后再沿 DB 到 B 处。若小军的速度
大小恒为 5km/h，不考虑取水停留的时间。
（1）求小军完成这次取水和送水任务所想要的总时间。
（2）为了找到一条最短路线（即从 A 到河岸和从河岸到 B 的总路程最短），可以将 MN 看成一个平面镜，从
A 点作出一条光线经 MN 反射后恰能通过 B 点，请你证明入射点 O 即为最短路线的取水点。
【答案】4
(1)1.6h；
(2)如解析所述，入射点 O 为最短路线的取水点。
【解析】(1)如下图所示,小军通过的路程是 AD+DB，
此时,AB=4km,AD=3km,根据勾股定理可知,DB=5km，
故小军通过的路程 s=AD+DB=3km+5km=8km，
∵v=st
∴所需的时间：
t=sv=8km5km/h=1.6h；
(2)作出发光点 A 关于平面镜的对称点,即为像点 A′,连接 A′、B 点交平面镜于点 O，沿 OB 画出反射光线，
连接 AO 画出入射光线，如图所示，图中 O 就是入射点；
①由图可知,A′B 的连线是线段,两点之间,线段最短,即此时 A′B 之间的距离(A′O+OB)最短；
②根据平面镜成像的特点可知,此时 AD=A′D,且 Rt△ADO 与 Rt△A′DO 有一条公共边 DO,故可知 Rt△ADO≌
Rt△A′DO,即 AO=A′O；
故 AO+OB=A′O+OB；
即此时 O 点是最短路线的取水点。
3.如图所示，竖直放置平面镜 MN 前有一直立人体 AB，人眼可通过平面镜观测到自己的像，试结合平面镜成
像特点和光的反射原理推证：平面镜所需最小长度为人体长度的一半时，人眼即可观看到全身像.（设人眼5
在 A 点，不考虑成像宽度）
【答案】见解析。
【解析】根据平面镜成像特点作出像A′B′，分别连接 AA′、AB′交平面镜于 O′、O，人眼能看到像是因
为物体发出的光经平面镜反射到人眼，再连接 BO，可知人体最下端 B 发出的光可经 O 点反射到人眼，同样
人体最上端 A 发出的光可经 O′反射到人眼.如答图所示.
由平面镜成像特点可知：
又有 ，
所以在 中 是三角形的中位线，
所以
又知
故
4．已知水的比热容为 C 水，沙子的比热容的 C 沙，一堆干沙子和质量相同的水混合成为湿沙子，试推证湿沙
子的比热为(C 水＋C 沙) /2
【答案】见解析。
【解析】证明：假设湿沙子吸热后温度上升 ,那么其中所含干沙子吸收的热量为 ;所含水吸收
的热量为 ,那么湿沙子的比热容：
，从而得证.
5.汽车沿着平直的公路从甲地开往乙地.
（1）若汽车在前一半路程的平均速度为 v1，在后一半路程的平均速度为 v2，则汽车全程的平均速度 V 为
υ=2υ1υ2 ∕（υ1+υ2）
''' // BAOO
'''
2
1 BAOO =
ABOO 2
1' =
t∆
22
沙水水沙湿
湿
cc
tm
tmctmc
tm
Qc
+=∆
∆+∆=∆=6
（2）若汽车在前一半路程和后一半路程所用时间相同，则全程平均速度 V 是多少？
【答案】见解析。
【解析】(1)设甲乙两地间的距离是 2s，
则前半段与后半段的路程都是 s，
∵v=st，
∴汽车的运动时间：t1=s/v1,t2=s/v2，
总的运动时间：t=t1+t2=s//v1+s/v2= s（1/v1+1/v2）=s v1 v2/（v1+v2）
全程的平均速度：v=2s/t=2s/ sv1v2/（v1+v2）
v =2v1 v2/（v1+ v2）
(2)前一半路程和后一半路程所用时间相同，
则 t1=t2=s/v1=s/v2，则 v1=v2，
全程的运动时间：t′=2t1=2s/v1=2s/v2，
全程的平均速度：v′=2s/t′=2s/2s/v2=v1=v2
6.一均匀的长方体浸没在液体中，如图所示．已知它的底面积为 S，上表面所处深度为 h1，下表面所处深度
为 h2，则长方体下表面所受到液体的压力表达式为 、浮力表达式为 ．（液体密度ρ 液和 g
为已知量）
【答案】ρ 液 gh2S；ρ 液 g（h2﹣h1）S．
【解析】由液体压强公式 p=ρgh 及压强公式的变形公式 F=pS 得：
F1=p1S=ρ 液 gh1S；
F2=p2S=ρ 液 gh2S，
F 浮=F2﹣F1=ρ 液 gh2S﹣ρ 液 gh1S=ρ 液 g（h2﹣h1）S．
7．如图所示，用平行于斜面的力 F，把重力为 G 的物体沿着长为 L，高为 h 的斜面匀速拉到斜面顶端，这
时物体受到的摩擦力大小为 f，（η、F 为已知，η 为斜面的机械效率）试推导：f=F(1-η)．7
【答案】见解析。
【解析】根据 η= W 有用/W 总,求出有用功大小，再根据 W 总=W 有用+W 额求出克服摩擦力做的额外功的大小，
根据 W 额=fs 求出摩擦力大小．
（1）∵η= W 有用/W 总,
∴W 有用=ηW 总=ηFs，
∵W 总=W 有用+W 额
∴W 额=W 总- W 有用=Fs-ηFs=（1-η）Fs=fs，
∴物体受到的摩擦力：f=F（1-η）．
8．演绎式探究﹣探究太阳的引力系数：
（1）宇宙中任何两个物体之间都存在万有引力，万有引力的大小 F 引=G ，其中 m1、m2 分别为两个物
体间的距离，万有引力常数 G=6.67×10﹣11N•m2/kg2．物体间引力和距离一定时，两个物体质量 m1、m2 分的
关系可以用如图中图线 来表示．
（2）行星绕恒星的运动可以近似地看作匀速圆周运动．行星受到一个恒定的指向恒星的向心力，向心力的
大小 F 向=mω2r，其中 m 为行星质量，r 为两星之间的距离，ω 为行星做圆周运动的角速度，其大小等于单
位时间内行星与恒星连线转过的角度．行星绕恒星运动一周所用的时间用周期 T 表示，角速度 ω 与转动周
期 T 的关系为：ω= ．行星所受向心力 F 向的大小等于恒星对行星的引力 F 引的大小．
每个星球对在它表面附件的物体都存在引力，引力与物体质量的比值叫作引力系数，用 g 表示，我们
学过地球的引力系数 g 地=10N/kg．对于每个星球来讲，下列公式成立：R2g=GM，其中 R 为星球半径，g 为星
球引力系数，M 为星球质量，万有引力常数 G=6.67×10﹣11N•m2/kg2．
已知地球质量为 m，地球到太阳的距离为 L，太阳半径为 R，地球的公转周期为 T．请你推导出太阳的引力
系数 g 日= ．8
【答案】（1）b；（2）如解析所示．
【解析】根据万有引力的大小 F 引=G ，分析其中已知量和不为的量和变化的量，可得两个物体质量
m1、m2 分的关系，从而确定图象；太阳为恒星，地球为太阳的行星，根据它们之间的万有引力公式和它们之
间的向心力公式，结合对于太阳来讲，R2g=GM 进行推导．
（1）万有引力的大小 F 引=G ，其中 m1、m2 分别为两个物体间的距离，万有引力常数：
G=6.67×10﹣11N•m2/kg2．由上式可知：
物体间引力和距离一定时，两个物体质量 m1、m2 分之积为定值，为反比例函数的关系，故可以用如图中图
线 b 来表示．
（2）地球为太阳的行星，根据万有引力公式，F 引=G =G ﹣﹣﹣﹣﹣①，
它们之间的向心力：
F 向=mω2r=m ﹣﹣﹣﹣﹣②；
因地球所受向心力 F 向的大小等于太阳对地球的引力 F 引的大小．由①②得：
F 引=G =G =m L，
即 GM= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③；
又对于每个星球来讲，R2g 日=GM，
g 日= ﹣﹣﹣﹣﹣④，将③代入④得：
太阳的引力系数 g 日= ．
9．液体内部存在压强。如图所示，烧杯内盛有密度为 的液体，我们可以设想液面下 h 深处有一面积为 sρ9
的水平圆面，它所受到的压力是其上方圆柱形的小液柱所产生的。
（1）请在图中作出小液柱所受重力的示意图。
（2）请推证：液体内部深度为 h 处的压强 。
【答案】见解析。
【解析】（1）如图
（2）小液柱的体积为：V=sh 小液柱的质量为：m=ρV=ρsh
小液柱的重力为：G=mg=ρshg
小液柱产生的压强为：p=F/s=G/s=ρshg /s=ρhg
即：液体内部深度为 h 处的压强 p=ρhg
10.斜面是人们生产和生活中经常使用的一种可以省力的简单机械。下面是某同学针对斜面问题进行的理论
研究的过程。请你帮他完成“理论论证”。
提出问题：使用斜面为什么可以省力？
建立模型：如图所示，斜面的长为 L，高为 h，沿光滑斜面匀速向上拉动重为 G 的物体，所用拉力为 F。
理论论证：运用功的原理证明:Fh,所以 F
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