3.1 投影
第 1 课时 平行投影与中心投影
教学目标：
【知识与技能】
1.了解投影、投影线、投影面的概念，掌握平行投影和中心投影的概念及性质．
2.能够确定物体在平行光线和点光源发出的光线在某一平面上的投影．
【过程与方法】
经过观察、想象，体会中心投影与平行投影之间的区别．
【情感态度】
1.积极参与探索，总结，与同伴交流，勇于解决问题．
2.通过了解，感受我国古代灿烂的文化，并会用数学的眼光观察世界．
【教学重点】
平行投影、中心投影的含义及其特征．
【教学难点】
平行投影与中心投影的区别及判断方法．
教学过程：
一、情境导入，初步认识
媒体展示：①物体在日光或灯光的照射下，在墙壁或地面形成影子；②皮影戏；③灯光
下，做不同的手势形成各种各样的手影．(可让学生参与现场表演，激发学生求知欲)
二、思考探究，获取新知
1.投影及平行投影的概念阅读教材内容，了解投影的定义及平行投影的定义．
(1)投影的定义：光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子叫做物体的
投影，照射光线叫投影线，投影所在的平面叫投影面．
(2)平行投影的定义：由平行光线形成的投影．如物体在太阳光的照射下形成影子．
【教学说明】平行投影的特征：同一物体在不同时刻太阳光下影子的方向和长短是不一
样的．一般上午的影子由西→西北→北变化，影子越来越短，下午的影子由北→东北→东变
化，影子越来越长．例 1． 如图，有两根木棒 AB，CD 在同一平面上竖着，其中 AB 这根木棒在太阳光下的影
子为 BE，请画出 CD 的影子 DF，并说明你是怎样画的．
【分析】因为是太阳光下的影子，所以光线应是平行的，木棒的顶端 A 与影子 E 的连线
AE 即为太阳光线．
解：过点 C 作 CF∥AE，交 BD 所在的直线于 F，
则 DF 就是所求的 CD 的影子，如图所示．
（3）中心投影的定义：探照灯，路灯或台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样
的光线所形成的投影称为中心投影．
【教学说明】①中心投影会改变物体的形状和大小．我们前面学过的位似图就是中心投
影．
②中心投影的点光源，物体边缘上的点及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其
中两点，就可以求出第三个点位置．
例 2．如图，垂直于地面的两根木杆 AB，CD 在同一路灯下的影子分别是 BE，DF，试画
出路灯灯泡的位置．
【分析】因为路灯发出的光线均从一点(即灯泡)出发，故光线 AE，CF 的交
点即为灯泡所在位置．
解：连接 EA，FC 并延长，交点为 P，则点 P 是灯泡的位置．
三、运用新知，深化理解
1.晚上小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影( )
A．变长 B．变短 C．先变长后变短 D．先变短后变长
2.如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的
形状是一个圆，当把白炽灯向远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（ ）
A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定
3.在一个晴朗的白天里，小亮在向正北方向走路时，发现自己的身影向左
偏，你知道当时所处的时间是（ ）
A．上午 B．中午 C．下午 D．无法确定
4.从早上太阳升起的某一时刻开始到晚上，操场上旗杆在地面上的影子变化规律是（ ）
A．先变长，后变短 B．先变短，后变长
C．方向改变，长短不变 D．以上都不正确
5.在同一时刻，身高为 1.6 米的小强的影长是 1.2 米，旗杆的影长是 15 米，则旗杆高为_______．
【教学说明】学生自主完成加深对新知识的理解．
【答案】1．D 2．A 3．A 4．B 5．20 米
四、师生互动，课堂小结
1.本堂课主要学习了投影、平行投影、中心投影的有关概念，初步认识了平行投影和中
心投影的特征，通过例题和练习掌握了平行投影的简单应用．
2.本堂课你学到了什么，还有什么疑惑和同学们交流一下．
课堂作业：
教材习题 3.1 第 2、3 题．
教学反思：
本节课首先通过媒体展示、学生动手，让学生们初步感知投影，接着学习平行投影及中
心投影的概念，通过例题和练习掌握投影的简单应用，培养学生积极探索、动手动脑的习惯，
增强学习数学的兴趣．
第 2 课时 正投影
教学目标：
【知识与技能】
1.理解正投影概念，了解点、直线、平面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正
投影．
2.掌握正投影的成像规律，会画一个立体图形的正投影．
【过程与方法】
经过观察、想象、体会正投影的概念，了解中心投影、平行投影与正投影的关系．
【情感态度】
1.积极参与探索，勇于解决问题．
2.会用数学的眼光观察世界．
【教学重点】
掌握正投影的概念，了解中心投影、平行投影和正投影的关系．【教学难点】
掌握线段、正方形、正方体的正投影特征．
教学过程：
一、情境导入，初步认识
1.同学们回顾一下：
①什么是投影？②投影包括哪几种？
2.同学们猜想一下：平行投影时，当投影线垂直于投影面时，物体形成的投影如何呢？
二、思考探究，获取新知
1．正投影的定义
让同学们拿着课本，看看它在太阳光下的正投影是什么形状?
正投影定义：平行投影中，如果投影线与投影面垂直，就称为正投影．
【教学说明】正投影是一种特殊的平行投影，它区别于一般的平行投影的不同之处是投
影线垂直于投影面．
2．正投影的特征
探究 1 如图，把一根直的细铁丝(记为线段 AB)放在三个不同位置；①铁丝平行于投影
面；②铁丝倾斜于投影面；③铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公共点）．
三种情况下铁丝的正投影各是什么形状?由此你可以猜想线段的正投影有什么规律?
学生自主完成，小组内展示，细铁丝可以用铅笔代替．
【教学说明】①铁丝平行于投影面时，它的正投影的形状跟大小与它本身完全相等；
②铁丝倾斜于投影面，它的正投影仍是一条线段，但长度变短了；
③铁丝垂直于投影，它的正投影变成了一个点．
正投影特征：①当线段 AB 平行于投影面 P 时，它的正投影是线段 A1B1，线段与它的投
影的大小关系为 AB=A1B1；②当线段 AB 倾斜于投影面 P 时，它的正投影是线段 A2B2，线段与
它的投影的大小关系为 AB＞A2B2；③当线段 AB 垂直于投影面 P 时，它的正投影是一个点
A3．
探究 2 如图，把一块正方形硬纸板 Q（例如正方形 ABCD）放在三个不同位置：①纸板平行于投影面；②纸板倾斜于投影面；③纸板垂直于投影面．
三种情况下纸板的正投影各是什么形状?由此你可以猜想得出什么规律?
【教学说明】用作业本做一个投影试验就可得出结论．
结论：①纸板 Q 平行于投影面 P 时，Q 的正投影与 Q 形状、大小一样（即全等）；
②纸板 Q 倾斜于投影面 P 时，Q 的正投影与 Q 的形状、大小发生变化（面积变小）；
③纸板 Q 垂直于投影面 P 时，Q 的正投影成为一条线段．
例 如图，按照箭头所指的投影方向，画出长方体的正投影，并标出尺寸．
解：(1)正投影是一个正方形，如图(1)．
(2)正投影是一个矩形，如图(2)．
三、运用新知，深化理解
1.正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是（ ）
A．正方形 B．平行四边形或线段 C．矩形 D．菱形
2.当棱长为 20cm 的正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为（ ）
A． 20cm2 B． 300cm2 C． 400cm2 D． 600cm2
3.当投影线由上到下照射水杯时，如图所示，那么水杯的正投影是（ ）
4.下列命题中真命题的个数为（ ）①正方形的平行投影一定是菱形；②平行四边形的平行投影一定是平行四边形；③三角
形的平行投影一定是三角形．
A．1 B．2 C．3 D．0
5.一个长方形的正投影的形状、大小与原长方形完全一样，则这个长方形_______投影
面；一个长方形的正投影的形状、大小都发生了变化，则这个长方形_______投影面．
6.已知一纸板的形状为正方形 ABCD(如图)，其边长为 10cm，AD、BC 与投
影面 β 平行，AB、CD 与投影面不平行，正方形在投影面 β 上的正投影为
A1B1C1D1，若∠ABB1=45°，求正投影 A1B1C1D1 的面积．
【教学说明】学生自主完成，教师巡视引导分析．
【答案】1．B 2．C 3．D 4．D 5．平行于 倾斜于
6．解：如图：过点 A 作 AH⊥BB1 于 H，
∵∠ABB1=45°，
∴△ABH 为等腰直角三角形，
，
．
，
．
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
2.在学生回答的基础上，教师点评：①线段、平面图形、立体图形的正投影规律；②画
物体的正投影应注意哪些细节?
课堂作业：
教材习题 3.1 第 5、6 题．
教学反思：
本节课通过学生自己动手完成书本、铅笔在太阳光下的正投影，加深了对正投影概念的
理解，有利于对正投影规律的掌握，培养了学生动手、动脑和探究问题的能力．
2 5 2cm2AH AB∴ = =
1 1 5 2cmA B AH∴ = =
1 1 10cmA D AD= =
2
1 1 1 1 50 2cmABCDS A B A D∴ = =矩形
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