九年级数学下册第2章圆2-6弧长与扇形面积教案（湘教版）.docx

2.6 弧长与扇形面积 第 1 课时 弧长及其相关量的计算 教学目标： 【知识与技能】 理解并掌握弧长公式的推导过程，会运用弧长公式进行计算． 【过程与方法】 经历弧长公式的推导过程，进一步培养学生探究问题的能力． 【情感态度】 调动学生的积极性，在组织学生自主探究，相互交流合作的学习中培养学生的钻研精 神． 【教学重点】 弧长公式及其运用． 【教学难点】 运用弧长公式解决实际问题． 教学过程： 一、情境导入，初步认识 如图是某城市摩天轮的示意图，点 O 是圆心，半径 r 为 15m，点 A、B 是圆上的两点， 圆心角∠AOB=120°．你能想办法求出 AB 的长度吗？ 【教学说明】学生根据 AB 是 120°是 周长可直接求出 AB 的长，为下面推导出弧长公 式打好基础． 二、思考探究，获取新知 问题 1 在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧长_______． 【教学说明】在前面学习的圆心角定理知识，同圆或等圆中若圆心角、弦、弧三者有一 1 3组量相等，则另外两组量也分别相等，结论自然不难得出． 问题 2 1 度的圆心角所对的弧长 l=_____． 问题 3 半径为 R 的圆中，n 度的圆心角所对的弧长 l=______． 【分析】在解答(1)的基础上，教师引导分析，让学生自主得出结论，这样对公式的推 导，学生就不容易质疑了． 结论：半径为 r 的圆中，n°的圆心角所对的弧长 l 为 注：已知公式中 l、r、n 的其中任意两个量，可求出第三个量． 三、典例精析，掌握新知 例 1 已知圆 O 的半径为 30 cm，求 40 度的圆心角所对的弧长．(精确到 0.1cm) 解： ． 答：40 度的圆心角所对的弧长约为 20.9 cm． 【教学说明】此题是直接导用公式． 例 2 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=15°，以 C 为圆心，CA 为半径的圆交 AB 于 点 D，若 AC=6，求弧 AD 的长． 【分析】要求弧长，必须知道半径和该弧所对的圆心角的度数，即只 需求出∠ACD 的度数即可． 解：连接 CD． 因为∠B=15°，∠BCA=90°， 所以∠A=90°-∠B=90°-15°=75°． 又因为 CA=CD，所以∠CDA=∠A=75°． 所以∠DCA=180°-2∠A=30°． 所以 的长= =π． 【教学说明】在求弧长的有关计算时，常作出该弧所对应的圆心角． 例 3 如图为一个边长为 10 cm 的等边三角形，木板 ABC 在水平桌面绕顶点 C 沿顺时针方向旋转到△A′B′C 的位置．求顶点 A 从开始到结束所经过的路程 为多少？ 解：由题可知∠A′CB′=60°． ∴∠ACA′=120°．A 点经过的路程即为 AA′的长．等边三角形的边长为 10cm．即 AA′ ·2360 180 n n rl r ππ= = ( )40 30 20 20.9180 180 3 n Rl cm π π π× ×= = = ≈ AD 30 6 180 π ×的半径为 10cm． ∴AA′的长= (cm)． 答：点 A 从开始到结束经过的路程为 cm． 【教学说明】弧长公式在生活中的应用是难点，关键是找出所在的圆心角的度数和所在 圆的半径，问题就容易解决了． 四、运用新知，深化理解 1．一个扇形的圆心角为 60°，它所对的弧长为 2π cm，则这个扇形的半径为（） A．6cm B．12cm C． cm D． cm 2．如图，五个半圆中邻近的半圆相切，两只小虫同时出发，以相 同的速度从点A 到点B，甲虫沿着 、 、 、 的 路线爬行，乙虫沿着路线 爬行，则下列结论正确的是（ ） A．甲先到 B 点 B．乙先到 B 点 C．甲乙同时到达 D．无法确定 3．如果一条弧长等于 l，它所在圆的半径等于 R，这条弧所对的圆心角增加 1°，则它 的弧长增加（） A． B． C． D． 4．(山东泰安中考）如图，AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于点 C，连结 BC， 若∠ABC=120°，OC=3，则 的长为（） A．π B．2π C．3π D．5π 第 4 题图 第 5 题图 5．一块等边三角形的木板，边长为 1，现将木板沿水平线无滑动翻滚（如图），那么 B 点从开始到结束时所走过的路径长度是______． 【教学说明】在弧长公式及其运用的题目中，多是一些基础题，关键是理解公式的推导 120 10 20 180 3 π π× = 20 3 π 2 3 6 1ADA 1 2A EA 2 3A FA 3A GB ACB 1 n 180 Rπ 180l Rπ 1 360 BC过程后，在 l、n、r 中只知道其中任意两个量，就可求出第三个量了． 【答案】1．A 2．C 3．B 4．B 5． 五、师生互动，课堂小结 1．师生共同回顾本小节的知识点． 2．通过本节课的学习，你掌握了那些新知识，还有哪些疑问?请与同伴交流． 【教学说明】1．n°的圆心角所对的弧长 ． 2．学生大胆尝试公式的变化运用． 课堂作业： 教材习题 2.5 第 1、2 题 教学反思： 本节课是从如何计算摩天轮的弧长引入，到学生自己推导出弧长公式，并运用公式解决 问题，培养学生动手、动脑的习惯，加深了对公式的理解，并用所学知识解决实际问题．体 验了推导出公式的成就感．激发了学生学习数学的兴趣． 第 2 课时 扇形面积 教学目标： 【知识与技能】 1.掌握扇形的定义． 2.掌握扇形面积公式的推导过程，会运用扇形的面积进行有关计算． 【过程与方法】 经过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力． 【情感态度】 经历扇形面积公式的推导过程及利用公式解决实际问题，加强合作交流，集思广益． 【教学重点】 扇形面积公式的推导过程及用公式进行有关计算． 【教学难点】 用公式求组合图形的面积来解决实际问题． 教学过程： 一、情境导入，初步认识 4 3 π 180 n Rl π=如图所示是一把圆弧形状的扇子的示意图，你能求出做这把扇 子用了多少纸吗?要想解决以上问题，需知道求扇形的面积的计算公 式．今天我们就来学习扇形的面积． 二、思考探究，获取新知 1．扇形的定义 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径围成的图形叫做扇形． 【教学说明】1．强调它是一个封闭的图形； 2．扇形包括两半径和弧内部的平面部分． 2．扇形的面积公式同学们结合圆的面积 S=πR2，完成下列各题： （1）该圆的面积可看作是_______的圆心角所在的扇形面积． (2)设圆的半径为 R，1°的圆心角所在的扇形面积为______，2°的圆心角所在的扇形 面积为，3°的圆心角所在的扇形面积为______，…，n°的圆心角所在的扇形面积为___．学 生解答 【教学说明】(1)360°(2) 因此，在半径为 R 的圆中，圆心角为 n°的扇形的面积为 S 扇形= ，还可推导出 S 扇形= ，其中 l 为扇形的弧长． 例 1（教材例 3）如图，⊙O 的半径为 1.5cm，圆心角∠AOB=58°，求扇形 OAB 的面积 （精确到 0.1 cm2)． 解：∵ r=1.5 cm，n= ， ∴ 例 2 已知半径为 2 的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积为多少？ 【分析】已知扇形弧长为 l，所在圆的半径为 R 时，可直接利用扇形的面积公式：S 扇形 = 求解．解： S 扇形= = ． 【教学说明】扇形有两个面积公式，随着已知条件的不同，学生要有不同的公式选择， 2 360 Rπ 22 360 Rπ 23 360 Rπ 2 360 n Rπ 2 360 n Rπ 1 2 lR 2 2 258 1.5 58 3.14 1.5 1.1360 360 ( )S cm π× × × ×= = ≈ 4 3 π 1 2 lR 1 2 lR 1 4 422 3 3 π π× × = 58这样计算更简便． 3．组合图形的面积计算． 例 3 如图，把两个扇形 OAB 与扇形 OCD 的圆心重合叠放在一起，且∠AOB=∠COD，连接 AC． (1)求证：△AOC≌△BOD； (2)若 OA=3cm，OC=2cm，AB 的长为 ，CD 的长为 π，求阴影部分的面 积． 【教学说明】利用“边角边”证明△AOC≌△BOD，阴影部分是不规则图形，可先将其转 化为规则图形，再计算． (1)证明：∵∠AOB=∠COD， ∴∠BOD=∠AOC． 又∵OA=OB，OC=OD， ∴△AOC≌△BOD． (2)解：延长 CD，交 OB 于点 F，设 AO 交 CD 于点 E． ∵S△AOC=S△BOD， S 扇形 EOC=S 扇形 DOF， ∴S 图形 AEC=S 图形 BFD． ∴S 阴影=S 扇形 OAB-S 扇形 OCD ． 【教学说明】扇形面积的学习，主要是求组合图形中的特殊部分的面积，如阴影部分等， 关键是找出规则图形之间面积存在怎样的和、差、倍、分关系． 三、运用新知，合作学习，深化理解 1．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为 2 的“等 边扇形”的面积为（ ） A．π B．1 C．2 D． 2．如图所示，一张半径为 1 的圆心纸片在边长为 a(a≥3)的正方形 内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的 面积是（ ） A．a2-π B．(4-π)a2 C．π D．4-π 3 2 π 1 3 1 53 22 2 2 4 π ππ= × × − × × = 2 3 π3．如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是 的三等分点．如果⊙O 的 半径为 1，P 是线段 AB 上的任意一点，则阴影部分的面积为_____． 4．如图所示，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，BC= ，⊙A 与 BC 相切于点 D，且交 AB、AC 于 M、N 两点，则图中阴影部分的面 积是______（保留 π)． 5．如图，⊙O 的半径为 R，直径 AB⊥CD，以 B 为圆心，以 BC 为半径 作弧 ，求图中阴影部分的面积． 【教学说明】扇形的面积公式是基础，但关键在解决一些实际问题时， 它都不是单一的扇形，而是其组合图形，分解组合图形向基本可求出面积的图形转化方可求 出组合图形的面积． 【答案】1．C 2． D 3． 4． 5．解：S 阴=S 半圆 OCAD+S△BCD-S 扇形 BCED= 四、师生互动，课堂小结 1．这节课你学到了什么?还有哪些疑惑? 2．教师强调：①扇形的概念． ②圆心角为 n°的扇形面积 S 扇= (l 为扇形的弧长）． ③组合图形的面积． 课堂作业： 教材练习第 3 题，习题 2.5A 组 3 题 教学反思： 本节课从基本的生活用品扇子引入，到学生自主推导出扇形的两种面积公式，并运用公 式解决了组合图形的面积．由简单到复杂，由特殊到一般的解题过程，使学生掌握由浅入深， 由简单到复杂的解题技能，而复杂图形又是由简单图形组成，培养学生对数学产生浓厚的兴 趣． AB 2 3 CD 3 π 3 3 π− 2 2 2 21 1 2 2R R R Rπ π+ − = 2 1 360 2 n R lR π =