1.1 二次函数
教学目标
理解二次函数的有关概念，会列二次函数的表达式．
重点：理解二次函数的有关概念．
难点：理解二次函数的有关概念的应用．
本节知识点
通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．
教学过程
（1）正方形边长为 a（cm），它的面积 s（cm2）是多少？
（2）矩形的长是 4 厘米，宽是 3 厘米，如果将其长与宽都增加 x 厘米，则面积增加 y 平方
厘米，试写出 y 与 x 的关系式．
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一
次函数概念的经验，给它下个定义．
[实践与探索]
例 1 m 取哪些值时，函数 是以 x 为自变量的二次函数？
分析 若函数 是二次函数，须满足的条件是： ．
解 若函数 是二次函数，则
．
解得 ，且 ．
因此，当 ，且 时，函数 是二次函数．
回顾与反思 形如 的函数只有在 的条件下才是二次函数．
探索 若函数 是以 x 为自变量的一次函数，则 m 取哪些值？
例 2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积 S（cm2）与正方体棱长 a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积 y（cm2）与它的周长 x（cm）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是 1.98%，存入 10000 元本金，若不计利息，求本息和 y（元）与所
存年数 x 之间的函数关系；
2 2( ) ( 1)y m m x mx m= − + + +
2 2( ) ( 1)y m m x mx m= − + + + 2 0m m− ≠
2 2( ) ( 1)y m m x mx m= − + + +
2 0m m− ≠
0m ≠ 1m ≠
0m ≠ 1m ≠ 2 2( ) ( 1)y m m x mx m= − + + +
2y ax bx c= + + 0a ≠
2 2( ) ( 1)y m m x mx m= − + + +（4）菱形的两条对角线的和为 26cm，求菱形的面积 S（cm2）与一对角线长 x（cm）之间的
函数关系．
解 （1）由题意，得 ，其中 S 是 a 的二次函数；
（2）由题意，得 ，其中 y 是 x 的二次函数；
（3）由题意，得 （x≥0 且是正整数），
其中 y 是 x 的一次函数；
（4）由题意，得 ，其中 S 是 x 的二次函数．
例 3．正方形铁片边长为 15cm，在四个角上各剪去一个边长为 x（cm）的小正方形，用余下
的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积 S（cm2）与小正方形边长 x（cm）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为 3cm 时，求盒子的表面积．
解 （1） ；
（2）当 x=3cm 时， （cm2）．
课堂练习
1．下列函数，哪些是二次函数？
（1） （2）
（3） （4）
2．当 k 为何值时，函数 为二次函数？
3．已知正方形的面积为 ，周长为 x（cm）．
(1)请写出 y 与 x 的函数关系式；
(2)判断 y 是否为 x 的二次函数．
课堂小结
形如 的函数叫做二次函数．
[本课课外作业]
A 组
1． 已知函数 是二次函数，求 m 的值．
26 ( 0)S a a= >
2
( 0)4
xy xπ= >
10000 1.98% 10000y x= + ⋅
21 1(26 ) 13 (0 26)2 2S x x x x x= − = − + < <
2 2 2 1515 4 225 4 (0 )2S x x x= − = − < <
2225 4 3 189S = − × =
2 0y x− = 2( 2)( 2) ( 1)y x x x= + − − −
2 1y x x
= + 2 2 3y x x= + −
2
( 1) 1k ky k x += − +
2( )y cm
2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠
2 7( 3) my m x −= −2． 已知二次函数 ，当 x=3 时，y= -5，当 x= -5 时，求 y 的值．
3． 已知一个圆柱的高为 27，底面半径为 x，求圆柱的体积 y 与 x 的函数关系式．若圆柱的
底面半径 x 为 3，求此时的 y．
4． 用一根长为 40 cm 的铁丝围成一个半径为 r 的扇形，求扇形的面积 y 与它的半径 x 之间
的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径 r 的取值范围．
B 组
5．对于任意实数 m，下列函数一定是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数关系中，可以看作二次函数 （ ）模型的是 （ ）
A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B． 我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空
气阻力）
D． 圆的周长与圆的半径之间的关系
2y ax=
2 2( 1)y m x= − 2 2( 1)y m x= + 2 2( 1)y m x= + 2 2( 1)y m x= −
2y ax bx c= + + 0a ≠
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