4.2.1 概率的概念
教学目标：
【知识与技能】
1.了解概率的定义，理解概率的意义．
2.理解 P(A)= (在一次试验中有 n 种可能的结果，其中 A 包含 m 种）的意义．
【过程与方法】通过生活中简单的例子帮助学生理解概率的意义，掌握概率的计算方
法．
【情感态度】
对概率意义的正确理解．
【教学重点】
概率计算方法的掌握．
教学过程：
一、情境导入，初步认识
问题 1：在一个袋子里放有 1 个白球和 1 个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同，
从袋子中随机取出一个球．问(1)摸出的球可能是哪个球?(2)全部可能结果有几种?(3)每种
结果的可能性大小如何?
学生讨论交流后回答，教师总结归纳：
(1)摸出的球可能是白球或红球；(2)全部可能结果有 2 种．(3)每种结果的可能性大小
都是 ．
二、思考探究，获取新知
1.概率的概念
问题 2：如图是一个能自由转动的游戏转盘，红、黄、蓝 3 个扇形的圆心角均为 120°，
让转盘自由转动，当它停止时，问（1）指针可能停在哪个扇形区域？（2）全部可能结果有
几种？（3）每种结果的可能大小如何？
教师鼓励学生动脑，模仿问题作出回答．
概率的概念
一般地，对于一个随机事件 A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A
m
n
1
2发生的 概率 ，记为 P(A) ．
2.概率的计算
教师引导学生阅读完成教材动脑筋从而得出概率的计算方法．
一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件
A 包含其中的 m 种可能，那么事件 A 发生的概率为 P(A)= ，其中 的范围是 0≤ ≤1，
因此，P（A）的范围是 0≤P(A)≤1，当 A 为必然事件时，P（A）=1；当 A 为不可能事件时，P
（A）= 0 ．
3.例题讲解
例 1 见教材例 1
例 2 已知一个口袋中装有 7 个颜色不同质地相同的球，其中白球 3 个，黑球 4 个．
(1)从中随机取出一个黑球的概率是多少?
(2)若往口袋中再放入 x 个白球和 y 个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是 ，
求 y 与 x 之间的函数关系式．
【分析】计算哪一种颜色的球的概率，就用这种颜色球的个数除以球的总个数．
解：(1)取出一个黑球的概率 P= ．
(2)∵取出一个白球的概率 ，∴ ．∴
12+4x=7+x+y，∴y 与 x 的函数关系式为 y=3x+5．
例 3 小明随机地在正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概
率为_______．
【答案】
【教学说明】针扎到阴影区域的概率= ．
三、运用新知，深化理解
1.如图，有 6 张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是（ ）
m
n
m
n
m
n
1
4
4 4
3 4 7
=+
3
7
xP x y
+= + +
3 1
7 4
x
x y
+ =+ +
3
9
π
阴影部分的面积
整体区域的面积2.已知一个布袋里装有 2 个红球，3 个白球和 a 个黄球，这些球除颜色外其余都相同，
若从该布袋里任意摸出 1 个球，是红球的概率为 13，则 a 等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图是一副普通扑克牌中的 13 张黑桃牌．将它们洗匀后正面
向下放在桌子上，从中任意抽取一张，则抽出的牌点数小于 9 的概率
为_______．
4. 100 件外观相同的产品中有 5 件不合格，现从中任意抽取 1 件进行检测，抽到不合格
产品的概率是________．
5.掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：
(1)点数为 2； (2)点数为奇数； (3)点数大于 2 小于 5．
【教学说明】学生自主完成，加深对新学知识的理解和掌握．
【答案】1．D 2．A 3． 4．
5．解：(1) ；(2) ；(3) ．
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾概率的概念及概率的计算方法．
2.通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问?请与同学们交流．
课后作业：
教材练习 1、2 题．
教学反思：
本节课由摸球试验和玩转盘游戏让学生感受概率的概念及概率的计算方法，培养学生思
考、总结的习惯，并用所学的知识解决实际问题，体验应用知识的成就感．
8
13
1
20
1
6
1
2
1
34.2.2 用列举法求概率
第 1 课时 用列表法求概率
教学目标：
【知识与技能】
1.进一步在具体情境中了解概率的意义．
2.会用列表法求出简单事件的概率．
【过程与方法】
通过生活中简单的例子，通过列表列举出事件的所有结果，进而求指定事件的概率．
【情感态度】
通过小组合作、探究、发现解决数学问题的方法和途径，从而激发求知欲．
【教学重点】
用列表法求概率的过程与方法．
【教学难点】
理解“等可能事件”，摸球或抽卡片放回与不放回的区别．
教学过程：
一、情境导入，初步认识
活动 1：一枚硬币连续掷两次，求下列事件概率．
(1)两次全部正面朝上；
(2)两次全面反面朝上；
(3)一次正面朝上，一次反面朝上．
学生分组讨论，思考，教师让学生回答解题结果：(1) (2) (3)
教师问：解决上述问题，能否用一个表格先列举出所有可能结果，再解题呢?这个表格
应怎样列，学生先动手试试看，然后教师展示列表．
思考：若能先列出表格，列举出试验的所有结果，再求确定事件的概率，是否要简捷一
1
4
1
4
1
2些．
二、思考探究，获取新知
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性都相等，可
以用列表列举出试验结果的方法，分析出随机事件的概率．
例 李明和刘英各掷一枚骰子，如果两枚骰子的点数之和是奇数，则李明赢，如果两枚
骰子的点数之和为偶数，则刘英赢，这个游戏公平吗?
【分析】1.游戏对双方是否公平，要看双方获胜的概率是否相等，若相等，则公平，若
不相等，则不公平．
2.各掷一枚骰子，可能出现的结果比较多，为了不重不漏，可用列表法列举出所有可能
结果．
解：
列表
从表中可以看出，出现点数之和为奇数的结果有 18 种，出现点数之和为偶数的结果也
有 18 种．
∴P(李明胜)= ，P(刘英胜)= ，所以游戏公平．
【教学说明】以上例可以看出用列表法求概率的关键是能根据题意正确列出表格，用表
格列举出事件出现的所有结果．
活动 2：教师引导学生完成教材“做一做”．
【教学说明】用列表法求概率适用的对象是：
1.试验出现各种结果的个数是有限个．
18 1
36 2
= 18 1
36 2
=2.试验涉及两个因素或分两步完成，如掷两个骰子，抽两张卡片，两次摸球等．
强调：当试验为摸球或抽卡片时，一定要分清第一次摸球或抽卡片后，“球”与“卡”
是否放回，即“放回”与“不放回”结果是不同的．
三、运用新知，深化理解
1.从 1，2，3，4，5 五个数中任意取出 2 个数做加法，其和为偶数的概率是（ ）
2.均匀的正四面体的各面上依次标有 1，2，3，4 四个数字，同时抛掷两个这样的正四
面体，着地的一面数字之和为 5 的概率是（ ）
3.从 1，2，-3 三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（ ）
4.将一个转盘分成 6 等份，分别是红、黄、蓝、绿、白、黑，转动转盘两次，两次能配
成“紫色”的概率是________（红色和蓝色配成紫色）．
5.在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号 1，2，3，4．小明先随机地
摸出一个小球，小强再随机地摸出一个小球．记小明摸出球的标号为 x，小强摸出球的标号
为 y．小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当 x＞y 时小明获胜，否则小强获
胜．
(1)若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率；
(2)若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗?请说明理由．
【教学说明】学生先自主解答，再教师引导分析讲解，加深对新知识理解．
【答案】1．C 2．B 3．B 4．
5．解：（1）由题意知（x，y)共有（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，3）（2，4）
（3，1）（3，2）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）共 12 种，其中 x＞y 有 6 种，∴小明获胜
的概率 P（x＞y)= = ．
(2)由题意知（x，y)除（1）中情形外，还有（1，1）（2，2）（3，3）（4，4）共 16 种．其
中 x＞y 有 6 种．
∴x＞y 的概率 P（x＞y)= = ＜ ，
∴游戏规则不公平．
1
18
6
12
1
2
6
16
3
8
1
2四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾用列表法求概率的方法和步骤．
2.通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问，请与同伴交流．
课后作业：
教材练习 1、2 题．
教学反思：
本节课从掷硬币试验引出用列表法求简单事件的概率，通过学生自己动手列表，加深对
新知识的掌握和认识，并运用所学知识解决实际问题，体验应用知识的乐趣．
第 2 课时 用树状图法求概率
教学目标：
【知识与技能】
1.会用画树状图法列举试验的所有结果．
2.掌握用树状图求简单事件的概率．
【过程与方法】
通过生活中简单的例子，掌握画树状图的方法，进而掌握用树状图求概率的一般步
骤．
【情感态度】
通过小组讨论，培养学生合作、探究的意识和品质．
【教学重点】
用树状图求概率．
【教学难点】
如何正确地画出树状图．
教学过程：
一、情境导入，初步认识
活动 1：将一枚质地均匀的硬币连掷三次，问：
(1)列举出所有可能出现的结果．
(2)求结果为一次正面，两次反面的概率．
教师问：该问题可以用列表法来解决吗?请试一试看(学生分组讨论)．经探究发现，上述问题用列表法不易解决，因为列表法适用于试验只需两步完成的事件，
而上述掷硬币需三步完成，所以不易用列表来解决，这就需要一种新的方法来解决——树状
图法．
二、思考探究，获取新知
如何用树状图来解决［活动 1］中的问题呢？
先让我们一起来画树状图．
从所画树状图可知共有正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，
反反反 8 种结果，而结果为一次正面两次反面的结果，有正反反，反正反，反反正 3 种，∴
P(一次正面，两次反面)=
【教学说明】列表法求概率适用的对象是两步完成或涉及两个因素的试验，而树状图法
既运用于两步完成的试验，又适用于三步及三步以上较复杂的试验．
例 1 小明和小华做“剪刀、石头、布”的游戏，游戏规则是：若两人出的不同，则石
头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头；若两人出的相同，则为平局．
(1)怎样表示和列举一次游戏的所有可能结果?
(2)用 A、B、C 表示指定事件：
A：“小明胜” B：“小华胜” C：“平局”
分别求出事件 A、B、C 的概率．
【教学说明】本例为教材“动脑筋”，教师要求学生先小组讨论，后独立完成，再以小
组交流的方法去完成，过程见课本．
例 2 教材例 2
【教学说明】用列表法或画树状图法都可以不重不漏地列举出试验所有可能出现的结果，
只是适用的范围不同，一般来讲，可用列表法解决的问题都可以用树状图来解决，反过来，
就不一定．
画树状图时，一定要看清题意，注意试验是几步完成，一般来讲试验分几步完成．树状
就“分枝”几次；树状图可以横着画，也可以竖着画．
3
8三、运用新知，深化理解
1.要从小强、小红和小华三人中随机选取两人作为旗手，则小强和小红同时入选的概率
是( )
2.小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学
时经过的每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是( )
3.一套书共有上、中、下三册，将他们任意摆放到书架的同一层上，这三册书从左到右
恰好成上、中、下顺序的概率为________．
4.三个同学同一天生日，他们做了一个游戏：买来了三张相同的贺卡，各自在其中一张
内写上祝福的话，然后放在一起，每人随机拿一张，则他们拿到的贺卡都不是自己所写的概
率是________．
5.一家医院某天出生了 3 个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这 3 个婴儿中，出现
1 个男婴、2 个女婴的概率是多少?
【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的掌握．
【答案】1．B 2．B 3． 4．
5．解：画树形图如下：
所以 P（1 个男婴，2 个女婴）= ．
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾用树状图求概率的方法，特别要注意树状图的画法．
1
6
1
3
3
82.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问，请与同学们交流．
课后作业：
教材练习 1、2 题．
教学反思：
本节课由三次掷硬币引出用树状图求概率，与上节课“两次掷硬币”用列表法求概率相
比较，让同学们学会比较、观察、探究问题的能力，加深对求概率知识的掌握．
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