1.4 二次函数与一元二次方程的联系
教学目标
（1）会求出二次函数 与坐标轴的交点坐标；
（2）了解二次函数 与一元二次方程之间的关系．
重、难点
二次函数图象与 x 轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次
方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．
教学过程设计
给出三个二次函数：（1） ；（2） ；（3） ．
它们的图象分别为
观察图象与 x 轴的交点个数，分别是 个、 个、 个．你知道图象与 x 轴的交点个
数与什么有关吗？
另外，能否利用二次函数 的图象寻找方程 ，不等式
或 的解？
[实践与探索]
例 1．画出函数 的图象，根据图象回答下列问题．
（1）图象与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么？
（2）当 x 取何值时，y=0？这里 x 的取值与方程 有什么关系？
（3）x 取什么值时，函数值 y 大于 0？x 取什么值时，函数值 y 小于 0？
解 图象如下图，
2y ax bx c= + +
2y ax bx c= + +
2 3 2y x x= − + 2 1y x x= − + 2 2 1y x x= − +
2y ax bx c= + + 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠
2 0( 0)ax bx c a+ + > ≠ 2 0( 0)ax bx c a+ + < ≠
2 2 3y x x= − −
2 2 3 0x x− − =
（1）图象与 x 轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与 y 轴的交点坐标为（0，-3）．
（2）当 x= -1 或 x=3 时，y=0，x 的取值与方程 的解相同．
（3）当 x＜-1 或 x＞3 时，y＞0；当 -1＜x＜3 时，y＜0．
例 2．（1）已知抛物线 ，当 k= 时，抛物线与 x 轴相交
于两点．
（2）已知二次函数 的图象的最低点在 x 轴上，则 a= ．
（3）已知抛物线 与x轴交于两点A（ α，0），B（β，0），且 ，
则 k 的值是 ．
分 析 （ 1 ） 抛 物 线 与 x 轴 相 交 于 两 点 ， 相 当 于 方 程
有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．
（2）二次函数 的图象的最低点在 x 轴上，也就是说，方程
的两个实数根相等，即⊿=0．
（3）已知抛物线 与 x 轴交于两点 A（α，0），B（β，0），即α、β
是方程 的两个根，又由于 ，以及 ，
利用根与系数的关系即可得到结果．
例 3．已知二次函数 ，
2 2 3 0x x− − =
22( 1) 4 2 3y k x kx k= + + + −
2( 1) 2 3 2y a x ax a= − + + −
2 ( 1) 3 2y x k x k= − − − − 2 2 17α β+ =
22( 1) 4 2 3y k x kx k= + + + −
22( 1) 4 2 3 0k x kx k+ + + − =
2( 1) 2 3 2y a x ax a= − + + −
2( 1) 2 3 2 0a x ax a− + + − =
2 ( 1) 3 2y x k x k= − − − −
2 ( 1) 3 2 0x k x k− − − − = 2 2 17α β+ = 2 2 2( ) 2α β α β αβ+ = + −
2 ( 2) 1y x m x m= − + − + +（1）试说明：不论 m 取任何实数，这个二次函数的图象必与 x 轴有两个交点；
（2）m 为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
（3）m 为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是 y 轴？
分析 （1）要说明不论 m 取任何实数，二次函数 的图象必与 x 轴
有两个交点，只要说明方程 有两个不相等的实数根，即⊿＞0．
（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程 有两个负实数根，因
而必须符合条件①⊿＞0，② ，③ ．综合以上条件，可解得所求 m 的值
的范围．
（3）二次函数的图象的对称轴是 y 轴，说明方程 有一正一负两个
实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，② ．
解：（1）⊿= ，由 ，得 ，所以⊿＞0，即
不论 m 取任何实数，这个二次函数的图象必与 x 轴有两个交点．
（2）由 ，得 ；由 ，得 ；又由（1），⊿＞0，
因此，当 时，两个交点都在原点的左侧．
（3）由 ，得 m=2，因此，当 m=2 时，二次函数的图象的对称轴是 y 轴．
探索 第（3）题中二次函数的图象的对称轴是 y 轴，即二次函数
是由函数 上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本
题．
课堂练习
1．已知二次函数 的图象如图，
则方程 的解是 ，
不等式 的解集是 ，
不等式 的解集是 ．
2 ．抛物线 与 y 轴的交点坐标为 ，
与 x 轴的交点坐标为 ．
2 ( 2) 1y x m x m= − + − + +
2 ( 2) 1 0x m x m− + − + + =
2 ( 2) 1 0x m x m− + − + + =
1 2 0x x+ < 1 2 0x x⋅ >
2 ( 2) 1 0x m x m− + − + + =
1 2 0x x+ =
2 2( 2) 4 ( 1) ( 1) 8m m m− − × − × + = + 2 0m ≥ 2 8 0m + >
1 2 2 0x x m+ = − < 2m < 1 2 1 0x x m⋅ = − − > 1m < −
1m < −
1 2 2 0x x m+ = − =
2 ( 2) 1y x m x m= − + − + +
2y x= −
2 3 4y x x= − −
2 3 4 0x x− − =
2 3 4 0x x− − >
2 3 4 0x x− − <
23 2 5y x x= − −3．已知方程 的两根是 ，-1，则二次函数 与 x 轴的两个交点
间的距离为 ．
4．函数 的图象与 x 轴有且只有一个交点，求 a 的值及交点坐标．
课堂小结
（1）二次函数图象与 x 轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，
一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．
（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与 x 轴的交点，
再根据交点的坐标写出不等式的解集．
[本课课外作业]
A 组
1．已知二次函数 ，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．
（1）方程 的解是什么？
（2）x 取什么值时，函数值大于 0？x 取什么值时，函数值小于 0？
2．如果二次函数 的顶点在 x 轴上，求 c 的值．
3．不论自变量 x 取什么数，二次函数 的函数值总是正值，求 m 的取值范
围．
4．已知二次函数 ，
求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；
（2）以此函数图象与 x 轴、y 轴的交点为顶点的三角形面积；
（3）x 为何值时，y＞0．
5．你能否画出适当的函数图象，求方程 的解？
B 组
6．函数 （m 是常数）的图象与 x 轴的交点有 （ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 个或 2 个
7．已知二次函数 ．
（1）说明抛物线 与 x 轴有两个不同交点；
22 3 5 0x x− − = 5
2
22 3 5y x x= − −
2 3 1y ax ax x= − + +
2 6y x x= + −
2 6 0x x+ − =
2 6y x x c= − +
22 6y x x m= − +
22 4 6y x x= − −
2 2x x= − +
2 2y mx x m= + −
2 2y x ax a= + + −
2 2y x ax a= + + −（2）求这两个交点间的距离（关于 a 的表达式）；
（3）a 取何值时，两点间的距离最小？
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