*2.3 垂径定理
教学目标：
【知识与技能】
1.理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证．
2.理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算．
【过程与方法】
在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中，培养我们观察，比较，归纳，概
括的能力．
【情感态度】
通过对圆的进一步认识，加深我们对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热
情．
【教学重点】
垂径定理及运用．
【教学难点】
用垂径定理解决实际问题．
教学过程：
一、情境导入，初步认识
教师出示一张图形纸片，同学们猜想一下：
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？
（2）如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AB 于点 M，能发现图中有哪些等量关系？
（在纸片上对折操作）
学生回答或展示：
【教学说明】
（1）是轴对称图形，对称轴是直线 CD．
（2）AM=BM， ．
二、思考探究，获取新知
探究 1 垂径定理及其推论的证明．
1.由上面学生折纸操作的结论，教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论，学生们说出
已知、求证，再由小组讨论推理过程．
AC BC AD BD= =，已知：直径 CD，弦 AB，且 CD⊥AB，垂足为点 M．
求证：AM=BM，
【教学说明】连接 OA=OB，又 CD⊥AB 于点 M，由等腰三角形三线合一可知 AM=BM，再由⊙
O 关于直线 CD 对称，可得 ．学生尝试用语言叙述这个命题．
2.得出垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．还可以得出结论(垂径定理推论)：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
3.学生讨论写出已知、求证，并说明．
学生回答：
【教学说明】已知：AB 为⊙O 的弦(AB 不过圆心 O)，CD 为⊙O 的直径，AB 交 CD 于点 M，
MA=MB．
求证：CD⊥AB， ．
证明：在△OAB 中，∵OA=OB，MA=MB，
∴CD⊥AB．又 CD 为⊙O 的直径，
∴ ．
4.同学讨论回答，如果条件中，AB 为任意一条弦，上面的结论还成立吗?
学生回答：
【教学说明】当 AB 为⊙O 的直径时，直径 CD 与直径 AB 一定互相平分，位置关系是相
交，不一定垂直．
探究 2 垂径定理在计算方面的应用．
例 1 讲教材例 1
例 2 已知⊙O 的半径为 13cm，弦 AB∥CD，AB=10cm，CD=24cm，求 AB 与 CD 间的距离．
AC BC AD BD= =，
AC BC AD BD= =，
AC BC AD BD= =，
AC BC AD BD= =，解：(1)当 AB、CD 在 O 点同侧时，如图①所示，过 O 作 OM⊥AB 于 M，交 CD 于 N，连
OA、OC．∵AB∥CD，∴ON⊥CD 于 N．在 Rt△AOM 中，AM=5cm，OM= =12cm．在
Rt△OCN 中，CN=12cm，ON= =5cm．∵MN=OM-ON，∴MN=7cm．
(2) 当 AB 、 CD 在 O 点 异 侧 时 ， 如 图 ② 所 示 ， 由 （ 1 ） 可 知 OM= 12cm ， ON=5cm ，
MN=OM+ON，∴MN=17cm．∴AB 与 CD 间的距离是 7cm 或 17cm．
【教学说明】1.求直径往往只要能求出半径，即把它放在由半径所构成的直角三角形中
去．
2.AB、CD 与点 O 的位置关系没有说明，应分两种情况：AB、CD 在 O 点的同侧和 AB、CD
在 O 点的两侧．
探究 3 与垂径定理有关的证明．
例 3 讲教材例 2
【教学说明】1.作直径 EF⊥AB，∴ ．
又 AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD．
∴ ．
∴ ，即 ．
2.说明直接用垂径定理即可．
三、运用新知，深化理解
1.如右图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 E，已知 CD=12，BE=2，则⊙
O 的直径为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
2.如图，半径为 5 的⊙P 与 y 轴交于点 M（0，-4)，N(0，-10)，
函数 (x＜0)的图象过点 P，则 k=______．
3.如图，在⊙O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于
D，OE⊥AC 于 E，求证：四边形 ADOE 为正方形．
2 2OA AM−
2 2OC CN−
AE BE=
CE DE=
AE CE BE DE− = − AC BD=
ky x
=【教学说明】1.在解决与弦的有关问题时，常过圆心作弦的垂线（弦心距），然后构造
以半径、弦心距、弦的一半为边的直角三角形，利用直角三角形的性质求解．
2.求 k 值关键是求出 P 点坐标．
3.利用垂径定理，由 AB=AC→AE=AD，再由已知条件→三个直角→正方形．
【答案】1．D 2．28
3．解：由 OE⊥CA，OD⊥AB，AC⊥AB，∴四边形 ADOE 为矩形．再由垂径定理;AE= AC，
AD= AB，且 AB=AC，∴AE=AD，∴矩形 EADO 为正方形．
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?
2.在学生回答基础上．
3.教师强调：①圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；②垂径定理及推论中
注意“平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；③垂
径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；④注意计算中的两种情
况．
课堂作业：
教材习题 2.3 第 1、2 题．
教学反思：
本节课由折叠圆形入手，让学生猜想垂径定理并进一步推导论证，在整个过程中着重学
习动手动脑和推理的能力，加深了对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情．
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