鸽巢问题
【教学准备】扑克牌、多媒体课件。
【教学过程】
一、情景激趣导入。
师：今天上课前，我先给大家表演一个魔术，大家想看吗？这个魔术需要一名同学来配合，
谁愿意？（向大家介绍）这是一副扑克牌，取出大王、小王，还剩多少张？请你任意从中抽
取 5 张牌。我敢肯定地说：你手中的 5 张至少有两张是同一花色。同学们，你们相信吗？好，
见证奇迹的时刻到了。（打开牌让大家看）
神奇吧！再给你们表演一个，这回请你任意抽出 14 张，我很确信的说，现在你手里的 14 张
牌中至少有一对儿！
（理解“至少”的意思）
老师为什么能做出准确的判断呢？因为这个魔术中蕴含了一个数学原理，大家有兴趣研究
吗？
【设计意图】第一次与学生接触，在课前进行的情景激趣、游戏激趣，一使教师和学生进行
自然的沟通交流；二激发学生的兴趣，引起探究的愿望；三为今天的探究埋下伏笔。
二、通过操作，探究新知
（一）教学例 1
师：同学们都带稿纸了吗？请用“︱”代表一支铅笔，用“○”代表笔筒，现在我们就开始
研究吧！。板书：铅笔 笔筒 4 3
师：将 4 支铅笔放进 3 个笔筒里，可能会有怎样的结果？大家在稿纸上画画看。
（师巡视，了解情况，个别指导，然后指名上黑板展示，师引导学生共同将可能的几种结果
订正并完善。）
【设计意图】此处设计从最简单的数据开始，将实际物件抽象为符号代替来进行操作探究，
从而化繁为简，有利于学生操作、观察、理解，更能调动所有的学生积极参与进来。
师：请大家注意观察，黑板上同学们呈现的四种情况，它们都不一样是吧？(是)但它们却有
一个共同的特点，谁来说说？
生 1：——
生 2：——
生 3：它们总有一个笔筒里装有两根或两根以上的铅笔。师：你真了不起，一语道破了天机，请同学们重复一下他说的话！
生重复：不管怎么放，总有一个笔筒里至少有 2 支铅笔。
师：“不管怎么放”是什么意思？
师：“总有”是什么意思？
生：一定存在。
师：“至少”有 2 支什么意思？
生：不少于两只，可能是 2 支，也可能是多于 2 支。
师：你能在 3 个笔筒中的一个笔筒里摆放出比 2 支更少的情况吗？（生：不能）
师：让我们再重复一遍我们发现的这个结论吧。
生：把 4 支铅笔放进 3 个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有 2 支铅笔。
【设计意图】通过观察，使学生积极投入到对问题研究中。同时，加强学生对“不管怎么
放”、“总有”、“至少”几个词的理解，并初步渗透建模的数学思想。
师：把 4 支铅笔放进 3 个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有 2 支铅笔。这是我们
通过实际操作进行枚举的方法发现了这个结论。(板书：枚举法)那么，我们能不能找到一种
更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论呢？
（学生思考——组内交流——汇报）
师：哪一组同学能把你们的想法汇报一下？
组 1 生：我们发现如果每个笔筒里放 1 支铅笔，最多放 3 支，剩下的 1 支不管放进哪一个笔
筒里，总有一个笔筒里至少有 2 支铅笔。
师：你能结合操作给大家演示一遍吗？（学生操作演示）
师：你们组太聪明了！大家给他们点掌声！同位之间边演示边说一说好吗？
师：这种分法，实际就是先怎么分的？
生众：平均分。
师：为什么要先平均分？（组织学生讨论）
生 1：要想发现存在着“总有一个笔筒里一定至少有 2 支”，先平均分,余下 1 支，不管放在
那个笔筒里，一定会出现“总有一个笔筒里一定至少有 2 支”。
生 2：这样分，只分一次就能确定总有一个笔筒至少有几支笔了。
师：哦，这个方法真妙。你们听明白了吗？我也听明白了。就是先假设在每个笔筒里放一只
铅笔，3 个笔筒里就放了 3 只铅笔，还剩下 1 支，放入任意一个笔筒，那么这个笔筒中就有
2 支铅笔了。这种方法我们可以把它叫做“假设法”。（板书：假设法）那么，用“假设法”研究这类问题的核心是什么？（先平均分）
师：其他小组还有其它的方法吗？（补充数的分解法并板书）
师：同学们真聪明！看来在探究解决问题时，通常都存在几种不同的方法策略。在我们刚才
展示的三种方法中，你们认为最佳的方法是那一种？为什么？大家同桌之间互相讨论一下。
生 1：我认为假设法最方便，因为假设法只需平均分一次就知道至少是多少。
师：我也这样认为。那么，让我们用这种最佳的方法来进行后面的研究，好不好？
【设计意图】数学课堂应为学生自主探索、合作交流提供足够的空间。在解决问题时，培养
学生从多角度出发探索解决问题的不同策略和方法，从而简单地渗透“方法论”的哲学思想。
师：请同学们继续思考：把 5 支笔饭放进 4 个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有
几支铅笔？为什么？
生：（一边演示一边说）5 支铅笔放在 4 个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有 2
支铅笔。因为如果每个盒子里放 1 支铅笔，最多放 3 支，剩下的 1 支不管放进哪一个盒子里，
总有一个盒子里至少有 2 支铅笔。
师：把 6 支笔放进 5 个盒子里呢？
生：6 支铅笔放在 5 个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有 2 支铅笔。
师：把 10 支笔放进 9 个盒子里呢？
把 100 支笔放进 99 个盒子里呢？……（板书类推数字）你发现什么？
生 1：笔的支数比盒子数多 1，不管怎么放，总有一个盒子里至少有 2 支铅笔。
师：你的发现和他一样吗？（一样）如果我们把“99 个盒子”用“n 个抽屉”来代替，把
“100 支铅笔”用“n+1 个物体”来代替，那么该怎样归纳这个发现呢？
生 1：将 n+1 个物体放在 n 个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有 2 个物体。
师：你们同意吗?(同意)
【设计意图】在学生自主探索的基础上，教师进一步比较优化，让学生逐步学会运用一般性
的数学方法来思考问题。在有趣的类推活动中，引导学生得出一般性的结论，让学生体验和
理解“抽屉原理”的最基本原理，当物体个数大于抽屉个数时，一定有一个抽屉中放进了至
少 2 个物体。这样的教学过程，从方法层面和知识层面上对学生进行了提升，有助于发展学
生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。）
师：你太了不起了！如果你早出生 200 年，数学史将因你而改写！那也没关系，今天你却是
第一个吃到螃蟹的人，大家给他以热烈的掌声！
【课件】抽屉原理的来历师：这个发现最早是由 19 世纪德国数学家“狄里克雷”发现的，人们为了纪念他从平凡的
事情中发现规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“抽屉
原理”，还把它叫做“鸽笼原理”。而我们今天正是利用抽屉原理来解决的这类问题，我们也
把它叫做“鸽巢问题”（板书课题：鸽巢问题）在我们刚才的探究中，“4 支铅笔”就是“4
个要分放的物体”，“3 个笔筒”就是“3 个抽屉”，这个问题用“鸽巢问题”的语言来描述就
是：4 只鸽子要飞进 3 个鸽笼，总有一个鸽笼至少要飞进 2 只鸽子。
【设计意图】介绍抽屉原理的由来，以增加数学文化的气息。同时教育学生学习数学家的观
察生活的态度，研究问题的方法。
2．解决问题。
师；我们刚才用三种不同的方法研究出了抽屉原理 1，知道了抽屉原理的来历。抽屉原理也
叫“鸽笼原理”。瞧，鸽子来了。
【课件】出示抽屉原理 1。（生齐读）
【课件】5 只鸽子飞回 3 个鸽笼，至少有 2 只鸽子要飞进同一个鸽笼里，为什么？
师：你们能用三种方法中的其中一种方法来说理吗？
（学生活动——独立思考，自主探究，交流、说理）
师：谁能说说为什么？或者你是怎么想的？
生 1：如果一个鸽笼里飞进一只鸽子，最多飞进 3 只鸽子，还剩 2 只，要飞进其中的一个鸽
笼里或两个鸽笼。不管怎么飞，至少有 2 只鸽子要飞进同一个鸽笼里。
师：同意吗？（生：同意）老师把这位同学说的算式写下来，（板书：5÷3=1……2）
师：同位之间再说一说，对这种方法的理解。
【设计意图】通过“做一做”中的鸽巢问题，使学生可以利用例题中的方法进行迁移类推，
对从余数 1 到余数 2 在思维层次上进一步提升。
【尝试练习】
师：看来同学们都理解了鸽巢问题，咱们现在就赶紧测验一下吧。老师出示相关题目，学生
自主解答。
【总结收获】
师：今天上课同学们表现都非常积极，那你学会了什么？
生回答。
教师总结。
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