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6.9 直线的相交
第 1 课时 对顶角
知识点 1 对顶角的意义
1．下列图形中，∠1 与∠2 是对顶角的是( )
图 6－9－1
2．如图 6－9－2 所示，BE，CF 相交于点 O，OA，OD 是射线，其中构成对顶角的角是
____________．
图 6－9－2
知识点 2 对顶角的性质
3．如图 6－9－3，直线 a，b 相交于点 O，∠1＋∠3＝________，∠2＋∠3＝________(邻
补角的定义)，所以∠1________∠2(同角的补角相等)．由此可知对顶角________．2
图 6－9－3
4．已知∠α 和∠β 是对顶角，∠α＝30°，则∠β 的度数为( )
A．30° B．60° C．70° D．150°
5．如图 6－9－4，图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是______________.
图 6－9－4
6．如图 6－9－5，直线 AB，CD，EF 交于一点 O.
图 6－9－5
(1)∠EOB 的对顶角是________；
(2)________是∠AOE 的对顶角；
(3)若∠AOC＝76°，则∠BOD 的度数为________．
7．如图 6－9－6 所示，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若∠AOC＋∠BOD＝90°，则∠BOC＝
________°.
图 6－9－6
8．如图 6－9－7 所示，∠1＝120°，∠2＋∠3＝180°，则∠4＝________°.3
图 6－9－7
9. 如图 6－9－8，直线 AB，CD 相交于点 O，∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4 的度数．
图 6－9－8
10．如图 6－9－9 所示，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分∠AOC，∠EOC＝35°，求∠BOD
的度数．
图 6－9－94
11．如图 6－9－10，直线 AB，CD，EF 相交于点 O，∠AOD＝150°，∠EOD＝80°，求∠AOF
的度数．
图 6－9－10
12．如图 6－9－11，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分∠AOC，OF 平分∠DOB，则点 E，
O，F 在同一直线上，请说明理由．(补全解答过程)5
图 6－9－11
解：∵直线 AB，CD 相交于点 O，
∴∠AOC＝________(对顶角相等)．
∵OE 平分∠AOC，OF 平分∠DOB，
∴∠AOE＝______∠AOC，∠BOF＝______∠DOB，
∴∠AOE＝________．
∵∠AOF＋∠BOF＝∠AOB＝180°，
∴∠AOF＋∠AOE＝∠EOF＝180°，
∴点 E，O，F 在同一直线上．
13．如图 6－9－12，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠BOE＝∠COF＝90°，且∠BOF＝32°，
求∠AOC 与∠EOD 的度数．
图 6－9－12
14．已知：如图 6－9－13 所示，直线 AB，CD，EF 相交于点 O，∠1∶∠3＝3∶1，∠2＝6
30°，求∠BOE 的度数．
图 6－9－13
15．观察图 6－9－14，回答下列各题．
(1)图①中，共有________对对顶角，可以看作________＝________×________；
(2)图②中，共有________对对顶角，可以看作________＝________×________；
(3)图③中，共有________对对顶角，可以看作________＝________×________；
(4)通过(1)～(3)各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有 n(n≥2)条直线相交
于一点，则可形成几对对顶角？
图 6－9－1478
1．C 2.∠EOF 和∠BOC，∠COE 和∠BOF
3．180° 180° ＝ 相等
4．A 5.对顶角相等
6．(1)∠AOF (2)∠BOF (3)76°
7．135 8.60
9．解：∵∠1＝40°，∠1＝∠2，∴∠2＝40°.
∵∠1＝40°，∠1＋∠3＝180°，∴∠3＝140°.
又∵∠3＝∠4，∴∠4＝140°.
10. 解：∵OE 平分∠AOC，∠EOC＝35°，
∴∠AOC＝2∠EOC＝35°×2＝70°.
由对顶角相等可知：∠BOD＝∠AOC＝70°.
11．解：∵∠AOD＝150°，∠AOD＋∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝30°.
又∵∠EOD＝80°，∴∠EOB＝80°－30°＝50°，
∴∠AOF＝∠EOB＝50°.
12．∠DOB
1
2
1
2
∠BOF
13． 解：∵∠COF＝90°，∠BOF＝32°，
∴∠COB＝90°－32°＝58°＝∠AOD.
∵∠BOE＝90°，
∴∠EOA＝180°－90°＝90°，
∠EOC＝90°－∠COB＝32°，
∴∠AOC＝∠EOA＋∠EOC＝122°，9
∠EOD＝∠EOA＋∠AOD＝148°.
14．解：∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，
且∠1∶∠3＝3∶1，∠2＝30°，
∴∠1＝112.5°，∠3＝37.5°，
∴∠BOE＝∠1＝112.5°.
15．解：(1)共有 2 对对顶角，可以看作 2＝2×1.
(2)单个角是对顶角的有 3 对，两个角组成复合角的对顶角有 3 对，共有 6 对，可以看
作 6＝3×2.
(3)单个角是对顶角的有 4 对，两个角组成复合角的对顶角有 4 对，三个角组成复合角
的对顶角有 4 对，共有 12 对，可以看作 12＝4×3.
(4)n(n≥2)条直线相交于一点，可形成 n(n－1)对对顶角．
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