6.9 直线的相交
第2课时 垂线
知识点1 垂直的定义
1．如图6－9－15，直线AB与CD相交于点O，(1)若∠AOC＝90°，则AB________CD；(2)若AB⊥CD，则∠AOC的度数为________．
图6－9－15
2．如图6－9－16，点O在直线l上，当∠1与∠2满足条件：____________时，OA⊥OB.
图6－9－16
知识点2 垂直的性质及作图
3．2017·柳州如图6－9－17，经过直线l外一点A画l的垂线，能画出( )
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图6－9－17
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
4．在图6－9－18中，分别过点P作AB的垂线．
图6－9－18
知识点3 垂线段及其性质
5．如图6－9－19，三角形ABC是锐角三角形，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
图6－9－19
则点C到直线AB的距离是( )
A．线段CA的长
B．线段CD的长
C．线段AD的长
D．线段AB的长
6．2017·富阳期末点A为直线l外一点，点B在直线l上，若AB＝5厘米，则点A到直线l的距离( )
A．大于5厘米 B．等于5厘米
C．小于5厘米 D．不大于5厘米
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7．如图6－9－20，要把河水引到C处，使所开水渠最短，请设计出水渠并说明设计依据．
图6－9－20
知识点4 与垂直相关的计算
8．如图6－9－21，已知AC⊥AB，∠1＝30°，则∠2的度数是( )
图6－9－21
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．如图6－9－22所示，点O在直线AB上，且OC⊥OD，若∠COA＝36°，则∠DOB的度数为( )
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图6－9－22
A．36° B．54° C．64° D．72°
10．如图6－9－23，直线AB，CD相交于点O，OE为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是________．
图6－9－23
11．如图6－9－24所示，OA⊥OB，OD⊥OC，若∠AOC＝32°，则∠BOD＝________°.
图6－9－24
12. 如图6－9－25，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD平分∠BOE，求∠AOC的度数．
图6－9－25
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13．两条直线相交所构成的四个角中：①有三个角都相等；②有一对对顶角互补；③有一个角是直角．其中能判定这两条直线垂直的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
图6－9－26
14．2017·西湖月考如图6－9－26，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°31′，则下列结论不正确的是( )
A．∠AOD与∠1互为补角
B．∠1＝∠3
C. ∠1的余角等于75°29′
D．∠2＝45°
15．如图6－9－27，OA⊥OC，OB⊥OD，有下列结论：①∠AOB＝∠COD；②∠AOB＝∠COD＝90°；③∠BOC＋∠AOD＝180°；④∠AOC－∠COD＝∠BOC.其中正确的是( )
图6－9－27
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
16．如图6－9－28所示，运动会上，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为PA＝5.52米，PB＝5.13 米，则小明的真实成绩为________米．
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图6－9－28
17．如图6－9－29，直线AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，OF⊥CD，OG⊥OE，∠BOD＝52°.
(1)求∠AOF的度数；
(2)∠EOF与∠BOG是否相等？请说明理由．
图6－9－29
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18．(1)在图6－9－30①中以点P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直．
图6－9－30
(2)量一量∠P和∠1的度数，它们之间的数量关系是________．
(3)同样在图②和图③中以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直，分别写出图②和图③中∠P和∠1之间的数量关系(不要求写出理由)．
图②：________；图③：________．
(4)由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角________(不要求写出理由)．
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1．(1)⊥ (2)90°
2．∠1＋∠2＝90°
3．A
4．解：如图．
5．B
6．D [解析] AB不一定垂直于l.
7．解：如图所示，CM即为所开水渠．依据：垂线段最短．
8．C [解析] ∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.∵∠1＝30°，∴∠2＝60°.故选C.
9．B [解析] 由OC⊥OD，可得∠COD＝90°，所以∠COA＋∠DOB＝90°.又∠COA＝36°，所以∠DOB＝54°.
10．垂直 [解析] 因为∠2＝55°，所以∠AOD＝55°，所以∠AOE＝35°＋55°＝90°，所以OE与AB垂直．
11．32
12．解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°.
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∵OD平分∠BOE，
∴∠BOD＝∠BOE＝45°，
∴∠AOC＝∠BOD＝45°.
13．D.
14．C
15．C
16． 5.13 [解析] BP的长是垂直距离，是真实成绩．
17．解：(1)∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°.
又∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝52°，
∴∠AOF＝∠COF－∠AOC＝90°－52°＝38°.
(2)相等．
理由：由(1)知∠AOC＝∠BOD＝52°.
∵OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE＝∠AOC＝26°.
又∵OG⊥OE，∴∠EOG＝90°，
∴∠BOG＝180°－∠AOE－∠EOG＝64°.
而∠EOF＝∠AOF＋∠AOE＝38°＋26°＝64°，
∴∠EOF＝∠BOG.
18． 解：(1)如图①所示：
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(2)互补
(3)如图②、图③所示：
图②：相等；图③：相等或互补．
(4)相等或互补
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