二次根式
本章总结提升
问题1 二次根式的概念
当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?为什么要强调x是这样的实数?
6
例1 2017·绵阳使代数式+有意义的整数x有( )
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
【归纳总结】 根据二次根式的定义,只有被开方数为非负数时二次根式才有意义,据此列出不等式(组)即可求出被开方数中所含字母的取值范围,但还要注意题中的其他限制条件,如分母不为0等.
问题2 二次根式的性质
例2 已知实数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图22-1-1所示,化简:+|a+c|-+|1-b|=________.
图22-1-1
问题3 二次根式的运算
二次根式的运算种类及各自的法则是什么?它的混合运算的顺序如何?乘法公式在运算时起了什么作用?
例3 2017·上海改编计算:+(-1)2- +()-1=________.
【归纳总结】 二次根式可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算,其混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同,还是先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减;如果能用乘法公式,就要使用乘法公式,以使运算简便.
问题4 与二次根式有关的代数式求值
化简求值问题的一般要求是什么?分母有理化的依据是什么?
例4 化简求值:(-)÷,其中a=1-,b=1+.
6
6
详解详析
【整合提升】
例1 [解析] B 由题意,得x+3>0且4-3x≥0,解得-3<x≤,其中的整数有-2,-1,0,1,故选B.
例2 [答案] c+a-1
[解析] 由图可知:a<0,a+c>0,a-b<0,1-b<0,故原式=-a+a+c+a-b+b-1=c+a-1.
例3 [答案] 5
[解析] 原式=3 +2-2 +1-+2=5.
例4 [解析] 先按分式的运算法则计算化简,再代入求值.
解:(-)÷
=÷
=·
=.
当a=1-,b=1+时,原式=.
【章内专题阅读】
二次根式中的数学思想
6
日本著名数学教育家米山国藏指出:“作为知识的数学出校门不到两年的时间可能就忘了,唯有深深铭记在头脑中的数学精神和数学思想、研究方法、着眼点等,这些随时随地发生作用,使学生终身受益.”由此可见数学思想是多么的重要,那么二次根式这一章中,有哪些重要的思想呢?
1.模拟探究的思想
例1 我们规定运算符号“※”的意义是当a>b时,a※b=a+b;当a≤b时,a※b=a-b,其他运算符号的意义不变.按上述规定,计算-=________.
[解析] 根据符号“※”的意义,将其转化即可.
-=+-=+-1+-=2 .
[点评] 例1是模拟规定、探究计算的题型,类似的模拟理论、探究实际,模拟特殊、探究一般,模拟确定、探究分类等,是近几年中考的一个热点.
2.数形结合的思想
例2 实数p在数轴上对应的点的位置如图所示,化简:+()2.
[解析] 根据实数p在数轴上对应的点的位置,确定出1-p0,再进行化简.
解:由实数p在数轴上对应的点的位置,可得1