专题13 二次函数的应用
1．2017·德州随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽．小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式；
(2)求出水柱的最大高度．
图Z13－1
2．2017·泰州怡然美食店的A，B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．
(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份？
(2)该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降低0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？
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3．2017·潍坊工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将矩形铁皮的四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)
(1)在图Z13－2中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求出当长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形的边长是多少．
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，当裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低为多少？
图Z13－2
4．2018·菏泽如图Z13－3，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－5交y轴于点A，交x轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.
(1)求此抛物线的表达式；
(2)E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；
(3)若P是直线AB下方的抛物线上的一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．
图Z13－3
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详解详析
1．解：(1)答案不唯一．如图所示，以喷水管与地面交点为原点，原点与任一水柱落地点所在直线为x轴，喷水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线的函数表达式为y＝a(x－1)2＋h，
将(0，2)和(3，0)代入表达式，
得解得
∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋，
即y＝－x2＋x＋2.
(2)∵y＝－(x－1)2＋，
∴当x＝1时，y最大值＝，
即水柱的最大高度为米．
2．解：(1)设该店每天卖出A，B两种菜品分别为x份、y份．
根据题意，得
解得
20＋40＝60(份)．
答：该店每天卖出这两种菜品共60份．
(2)设A种菜品售价降低0.5a元，则每天卖出(20＋a)份，
总利润为w元．
因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B种菜品每天卖出(40－a)份，每份售价提高0.5a元．
w＝(20－14－0.5a)(20＋a)＋(18－14＋0.5a)(40－a)
＝(6－0.5a)(20＋a)＋(4＋0.5a)(40－a)
＝(－0.5a2－4a＋120)＋(－0.5a2＋16a＋160)
＝－a2＋12a＋280＝－(a－6)2＋316.
当a＝6时，w最大值＝316.
答：这两种菜品一天的总利润最多是316元．
3．解：(1)如图所示．
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设裁掉的正方形的边长是x dm.
由题意，得(10－2x)(6－2x)＝12，
即x2－8x＋12＝0，
解得x＝2或x＝6(舍去)．
答：裁掉的正方形的边长是2 dm.
(2)设裁掉的正方形的边长是x dm.
∵长方体的底面长不大于底面宽的5倍，
∴10－2x≤5(6－2x)，解得x≤2.5，
∴0＜x≤2.5.
设总费用为w元，由题意可知
w＝0.5×2x(16－4x)＋2(10－2x)(6－2x)＝4x2－48x＋120＝4(x－6)2－24.
∵函数图象的对称轴为直线x＝6，开口向上，
∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，
∴当x＝2.5时，w有最小值，为25.
答：当裁掉的正方形边长为2.5 dm时，总费用最低，最低为25元．
4．解：(1)把B(－5，0)和C(1，0)代入y＝ax2＋bx－5，得
解得
∴抛物线的表达式为y＝x2＋4x－5.
(2)∵A(0，－5)，AD∥x轴，点E关于x轴的对称点在直线AD上，∴点E的纵坐标为5，
∴点E到直线AD的距离为10.
把y＝－5代入y＝x2＋4x－5，得
－5＝x2＋4x－5，解得x1＝－4，x2＝0，
∴D(－4，－5)，∴AD＝4，
∴S△EAD＝×4×10＝20.
(3)设直线AB的表达式为y＝kx＋b1，
把B(－5，0)和A(0，－5)代入，得
解得
∴直线AB的表达式为y＝－x－5.
设点P的坐标为(m，m2＋4m－5)，其中－5
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