专题15 全等三角形与直角三角形、等腰三角形
1．2018·福建A卷如图Z15－1，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )
图Z15－1
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．2017·枣庄如图Z15－2所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，与AC，AB分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为( )
图Z15－2
A．15 B．30 C．45 D．60
3．2018·雅安已知：如图Z15－3，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC与点D，连接BD，则线段AD的长为( )
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图Z15－3
A．2 B．2 C. D.
4．2017·大连如图Z15－4，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为( )
图Z15－4
A．2a B．2 a C．3a D.a
5．2017·丽水等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．
6．2017·黔东南州如图Z15－5，点B，F，C，E在一条直线上，已知FB＝CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件：__________，使得△ABC≌△DEF.
图Z15－5
7．2017·宿迁如图Z15－6，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，CA，BC的中点，若CD＝2，则线段EF的长是________．
图Z15－6
8．2017·丽水我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图Z15－7①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________．
图Z15－7
9．2018·武汉如图Z15－8，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF.
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图Z15－8
10．2018·绍兴数学课上，张老师给出了下面的两道例题：
例1 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)
例2 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们将例题进行变式，小敏编了如下一题：
变式 等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
(1)请你解答上面的变式题；
(2)解决(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
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详解详析
1．A 2.B 3.C 4.B 5.100°
6．答案不唯一，如AC＝DF，∠B＝∠E等
7．2 8.10
9．证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，∵AB＝DC，∠B＝∠C，BF＝CE，
∴△ABF≌△DCE(SAS)，∴∠1＝∠2，∴GE＝GF.
10．解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°；
故∠B的度数为50°或20°或80°.
(2)分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝()°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°.
当≠180－2x且180－2x≠x且≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．
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