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课时作业(十九)
[2.6.1 菱形的性质]
一、选择题
1．2017·益阳下列性质中菱形不一定具有的是( )
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
2．2017·衡阳菱形的两条对角线长分别是 12 和 16，则此菱形的边长是( )
链接听课例2归纳总结
A．10 B．8 C．6 D．5
3．2018·宿迁如图 K－19－1，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 为 CD 的中
点．若菱形 ABCD 的周长为 16，∠BAD＝60°，则△OCE 的面积是链接听课例3归纳总结( )
图 K－19－1
A. 3 B．2 C．2 3 D．4
4．如图 K－19－2，在菱形 ABCD 中，M，N 分别是边 BC，CD 上的点，且 AM＝AN＝MN＝
AB，则∠C 的度数为( )
图 K－19－2
A．120° B．100° C．80° D．60°
5．2017·南充已知菱形的周长为 4 5，两条对角线的和为 6，则菱形的面积为( )
A．2 B. 5 C．3 D．4
二、填空题
6．在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 的长分别是 6 和 8，则菱形的周长是________．
7．已知菱形 ABCD 的面积为 24 cm2，若对角线 AC＝6 cm，则这个菱形的边长为________
cm.
8．如图 K－19－3，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，H 为 AD 边的中点，菱
形 ABCD 的周长为 24，则 OH 的长等于________．
图 K－19－32
9 ．2017· 菏 泽 在 菱 形 ABCD 中 ，∠ A ＝ 60 ° ，其周 长 为 24 cm ，则菱 形 的 面 积 为
________cm2.
10．如图 K－19－4，将菱形纸片 ABCD 折叠，使点 A 恰好落在菱形的对称中心点 O 处，
折痕为 EF.若菱形 ABCD 的边长为 4 cm，∠A＝120°，则 EF＝________ cm.
图 K－19－4
三、解答题
11．如图 K－19－5，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC，垂足为 E，BE＝CE，求∠BAD 的度数.
链接听课例2归纳总结
图 K－19－5
12．2018·柳州如图 K－19－6，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AB
＝2.
(1)求菱形 ABCD 的周长；
(2)若 AC＝2，求 BD 的长．
图 K－19－63
13.2017·巴中如图 K－19－7，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD，
AC，BC 于点 E，O，F，连接 CE 和 AF.
(1)求证：四边形 AECF 为菱形；
(2)若 AB＝4，BC＝8，求菱形 AECF 的周长．
图 K－19－7
14．已知：如图 K－19－8，在菱形 ABCD 中，F 是 BC 边上任意一点，连接 AF 交对角线 BD
于点 E，连接 EC.
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点 F 在线段 BC 上的什么位置？请说明理由．
图 K－19－84
15．如图 K－19－9，菱形 ABCD 的边长为 2，BD＝2，E，F 分别是边 AD，CD 上的两个动
点，且满足 AE＋CF＝2.
(1)求证：△BDE≌△BCF；
(2)判断△BEF 的形状，并说明理由．
图 K－19－9
动态探究如图 K－19－10，四边形 ABCD 为菱形，E 为对角线 AC 上的一个动点，连接 DE 并延
长交直线 AB 于点 F，连接 BE.
(1)如图①，当点 F 在 AB 的延长线上时，求证：∠AFD＝∠EBC；
(2)如图②，当点 F 在 AB 的延长线上时，若 DE＝EC 且 BE⊥AF，求∠DAB 的度数；
(3)若∠DAB＝90°且当△BEF 为等腰三角形时，求∠EFB 的度数(只写出条件与对应的结
果)．
图 K－19－105
详解详析
课堂达标
1．C
2．[解析] A 菱形的对角线互相垂直平分，所以两条对角线的一半与边构成直角三角
形，斜边长为菱形的边长，所以菱形的边长为 62＋82＝10.故选 A.
3．[解析] A 根据菱形 ABCD 的周长为 16 可知 AB＝BC＝CD＝DA＝4，再根据∠BAD＝
60°，得△ABD 是等边三角形，所以 BD＝4，即 BO＝DO＝2，在 Rt△OBC 中根据勾股定理，
得 CO＝2 3，从而求得 S△COD＝2 3，根据 OE 是△COD 的中线，得 S△OCE＝
1
2S△COD＝ 3.故
选 A.
4．[解析] B ∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB＝AD.∵AM＝AN＝MN＝AB，∴AB＝AM，AN＝
AD，△AMN 是等边三角形，∴∠B＝∠AMB，∠D＝∠AND，∠MAN＝60°.设∠B＝∠D＝x，则
∠BAM＝∠DAN＝180°－2x，∠BAD＝2×(180°－2x)＋60°＝420°－4x.∵AB∥CD，∴∠BAD
＋∠D＝180°，(420°－4x)＋x＝180°，∴420°－3x＝180°，解得 x＝80°，∴∠C＝
180°－80°＝100°.
5．[解析] D ∵菱形的四条边相等，周长为 4 5，∴菱形的边长为 5.设菱形的两条
对角线的长分别为 x，y，则 x＋y＝6①， （
x
2）2＋（
y
2）2＝ 5，即 x2＋y2＝20②.①2－
②，得 2xy＝16.∴xy＝8.∴S 菱形＝
1
2xy＝4.
6．20 7.5
8．[答案] 3
[解析] ∵菱形 ABCD 的周长等于 24，∴AD＝
24
4 ＝6.∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°.在 Rt△AOD 中，OH 为斜边 AD 上的中线，∴OH＝
1
2AD＝3.
9．[答案] 18 3
[解析] 如图．∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD.∵∠A＝60°，∴△
ABD 是等边三角形．又∵菱形 ABCD 的周长为 24 cm，∴BD＝AD＝6 cm.在 Rt△AOD 中，OD＝3
cm，∴AO＝ AD2－OD2＝ 62－32＝3 3(cm)，∴AC＝2AO＝6 3(cm)，菱形的面积＝
1
2AC·BD
＝
1
2×6 3×6＝18 3 cm2.
10．[答案] 2 3
[解析] 连接 BD，AC，则 BD，AC 交于点 O.
∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，AC 平分∠BAD.∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，
∴∠ABO＝90°－60°＝30°.∵∠AOB＝90°，
∴AO＝
1
2AB＝
1
2×4＝2.由勾股定理，得 BO＝DO＝2 3.∵点 A 沿 EF 折叠与点 O 重合，∴6
EF⊥AC，EF 平分 AO.∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF＝
1
2BD＝
1
2×(2 3
＋2 3)＝2 3.
11．解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC.
∵AE⊥BC，BE＝CE，
∴AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC，
即△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝60°.
又∵AD∥BC，
∴∠BAD＝180°－∠B＝120°.
12．解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，
∴菱形 ABCD 的周长为 8.
(2)∵四边形 ABCD 是菱形，AC＝2，
∴OA＝OC＝
1
2AC＝1，OB＝OD，且∠AOB＝90°.
在 Rt△AOB 中，
∴OB＝ AB2－OA2＝ 22－12＝ 3.
∴BD＝2OB＝2 3.
13．解：(1)证明：∵四边形 ABCD 为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ACF.
又∵EF 是 AC 的垂直平分线，
∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°.
在△AOE 和△COF 中，{∠AOE＝∠COF，
OA＝OC，
∠OAE＝∠OCF，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF.
在四边形 AECF 中，OE＝OF，OA＝OC，AC⊥EF.
∴四边形 AECF 为菱形．
(2)设菱形 AECF 的边长为 x.由题意，得 AF＝x，CF＝x.
∵BF＝BC－CF，BC＝8，
∴BF＝8－x.
∵四边形 ABCD 为矩形，
∴∠B＝90°.
在 Rt△ABF 中，
由勾股定理，得 AB2＋BF2＝AF2.
又∵AB＝4，BF＝8－x，AF＝x，
∴16＋(8－x)2＝x2，
解得 x＝5.
∴菱形 AECF 的周长＝5×4＝20.7
14．解：(1)证明：连接 AC.
∵BD，AC 是菱形 ABCD 的对角线，
∴BD 垂直平分 AC，
∴AE＝EC.
(2)F 是线段 BC 的中点．
理由：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝CB.
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC＝60°.
∵AE＝EC，
∴∠EAC ＝∠ACE.
∵∠CEF＝60°，
∴∠EAC ＝30°，
∴AF 是△ABC 的角平分线，
∴BF＝CF，
∴F 是线段 BC 的中点．
15．解：(1)证明：∵菱形 ABCD 的边长为 2，BD＝2，
∴△ABD 和△BCD 都为等边三角形，
∴∠BDE＝∠BCF＝60°，BD＝BC.
∵AE＋DE＝AD＝2，而 AE＋CF＝2，
∴DE＝CF，
∴△BDE≌△BCF.
(2)△BEF 为等边三角形．
理由：∵△BDE≌△BCF，
∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF.
∵∠DBC＝∠DBF＋∠CBF＝60°，
∴∠DBF＋∠DBE＝60°，
即∠EBF＝60°，
∴△BEF 为等边三角形．
素养提升
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 为菱形，
∴DC∥AB，DC＝BC，CA 平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE.
在△DCE 和△BCE 中，
∵DC＝BC，∠DCE＝∠BCE，EC＝EC，
∴△DCE≌△BCE，
∴∠EDC＝∠EBC.
∵DC∥AB，
∴∠EDC＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠EBC.
(2)∵DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD.
设∠EDC＝∠ECD＝∠EBC＝∠ECB＝∠AFD＝x°，8
则∠CBF＝∠BCD＝(2x)°.
由 BE⊥AF，得∠EBF＝90°，
∴2x＋x＝90，
解得 x＝30，
∴∠DAB＝∠BCD＝60°.
(3)分两种情况：
①如图(a)，当点 F 在 AB 的延长线上时．
∵四边形 ABCD 为菱形且∠DAB＝90°，
∴∠CBF＝90°，
∴∠EBF 为钝角，
∴只能是 BE＝BF，设∠BEF＝∠EFB＝x°，
则∠EBC＝∠EFB＝x°.
在△BEF 中，可通过三角形内角和为 180°，得
90＋x＋x＋x＝180，
解得 x＝30，
∴∠EFB＝30°；
②如图(b)，当点 F 在线段 AB 上时．
∵∠EFB＝∠DAB＋∠ADF，且∠DAB＝90°，
∴∠EFB 为钝角，
∴只能是 FE＝FB，设∠BEF＝∠EBF＝y°，则∠AFD＝(2y)°.
∵CD∥AB，
∴∠AFD＝∠FDC＝∠EBC.
∵∠ABE＋∠EBC＝90°，
∴y＋2y＝90，
解得 y＝30，
∴∠EFB＝120°.
综上所述，∠EFB 的度数为 30°或 120°.
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