1
[2.2.2 第 2 课时 利用对角线的关系判定平行四边形]
一、选择题
1．下列命题中，真命题有( )
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
2．如图 K－14－1，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，下列不能判定四边
形 ABCD 是平行四边形的是链接听课例1归纳总结( )
图 K－14－1
A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
3．在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD
＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有
( )
A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种
二、填空题
4．如图 K－14－2 所示，OA＝OC，BD＝16 cm，则当 OB＝______cm 时，四边形 ABCD 是
平行四边形.链接听课例1归纳总结
图 K－14－2
5．将两根木条 AC，BD 的中点重叠，并用钉子固定，则四边形 ABCD 为平行四边形，理
由是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
6．如图 K－14－3 所示，在▱ABCD 中，已知两条对角线相交于点 O，E，F，G，H 分别是
AO，BO，CO，DO 的中点，以图中的点(包括▱ABCD 的四个顶点)为顶点最多可以画出________
个 平 行 四 边 形 ( ▱ ABCD 除 外 ) ， 它 们 是
________________________________________________________________________．
图 K－14－3
7．已知三条线段的长分别为 10，14，20，以其中两条为对角线，其余一条为边可以画
出________个平行四边形．
三、解答题2
8．如图 K－14－4，四边形 ADBC 的对角线 AB 与 CD 相交于点 O，AC∥DB，AO＝BO，E，F
分别是 OC，OD 的中点．求证：四边形 AEBF 是平行四边形.链接听课例1归纳总结
图 K－14－4
9．2017·西宁如图 K－14－5，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，O 是 AC 的中点，
AD∥BC，AC＝8，BD＝6.
(1)求证：四边形 ABCD 是平行四边形；
(2)若 AC⊥BD，求四边形 ABCD 的面积．
图 K－14－5
10．如图 K－14－6，在▱ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AE＝CF.
求证：DE＝BF，BE＝DF.
图 K－14－63
11．如图 K－14－7，O 是▱ABCD 的对角线的交点，过点 O 的直线 EF 分别交 AD，BC 于 F，E
两点，连接 AE，CF.
求证：四边形 AECF 是平行四边形．
图 K－14－7
12．在▱ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，EF 过点 O，分别与 AD，BC 相交于点 E，F，GH
过点 O，分别与 AB，CD 相交于点 G，H，连接 EG，FG，FH，EH.
(1)如图 K－14－8①，求证：四边形 EGFH 是平行四边形；
(2)如图②，若 EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有
与四边形 AGHD 面积相等的平行四边形．
图 K－14－84
13．如图 K－14－9，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E 是边 CD
的中点，连接 BE 并延长与 AD 的延长线相交于点 F.
(1)求证：四边形 BDFC 是平行四边形；
(2)若△BCD 是等腰三角形，求四边形 BDFC 的面积．
图 K－14－9
已知 P 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的一个动点(不与点 A，B 重合)，Q 为 AB 的中点，分别过点
A，B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E，F.
(1)当点 P 与点 Q 重合时，如图 K－14－10①，连接 AF，BE.求证：四边形 AEBF 是平行
四边形；
(2)当点 P 与点 Q 不重合时，如图 K－14－10②，求证：△QEF 是等腰三角形．
图 K－14－105
详解详析
课堂达标
1．B 2.A 3.B 4.8
5．对角线互相平分的四边形是平行四边形
6．3 ▱EFGH，▱AFCH，▱BGDE
7．2
8．证明：∵AC∥DB，
∴∠ACO＝∠BDO.
在△AOC 与△BOD 中，
∵∠ACO＝∠BDO，∠AOC＝∠BOD，
AO＝BO，
∴△AOC≌△BOD(AAS)，
∴OC＝OD.
∵E，F 分别是 OC，OD 的中点，
∴OE＝
1
2OC，OF＝
1
2OD，
∴OE＝OF.
又∵AO＝BO，
∴四边形 AEBF 是平行四边形．
9．解：(1)证明：∵O 是 AC 的中点，
∴OA＝OC.
∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO.
在△AOD 和△COB 中，
∵∠ADO＝∠CBO，∠AOD＝∠COB，OA＝OC，
∴△AOD≌△COB，
∴OD＝OB，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
(2)∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD 的面积＝△CAD 的面积＋△ABC 的面积＝
1
2AC·OD＋
1
2AC·OB＝
1
2AC·BD＝24.
10．证明：连接 BD 交 AC 于点 O.
因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 OA＝OC，OB＝OD.
又因为 AE＝CF，所以 OA－AE＝OC－CF，
即 OE＝OF，
所以四边形 BEDF 是平行四边形，
所以 DE＝BF，BE＝DF.
11．证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 AD∥BC，AO＝CO，
所以∠FAO＝∠ECO(两直线平行，内错角相等)．
在△AOF 和△COE 中，
{∠FAO＝∠ECO，
AO＝CO，
∠AOF＝∠COE，6
所以△AOF≌△COE，所以 OF＝OE.
又因为 AO＝CO，
所以四边形 AECF 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．
12．解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO.
又∵OA＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△OAE≌△OCF，
∴OE＝OF.同理 OG＝OH，
∴四边形 EGFH 是平行四边形．
(2)▱GBCH，▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH.
13．解：(1)证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴AF∥BC，
∴∠CBE＝∠DFE，∠BCE＝∠FDE.
∵E 是边 CD 的中点，
∴CE＝DE.
在△BCE 和△FDE 中，
{∠CBE＝∠DFE，
∠BCE＝∠FDE，
CE＝DE，
∴△BCE≌△FDE(AAS)，
∴BE＝FE.
又∵CE＝DE，
∴四边形 BDFC 是平行四边形．
(2)若△BCD 是等腰三角形：
①若 BD＝BC＝3，在 Rt△ABD 中，
AB＝ BD2－AD2＝ 9－1＝2 2，
∴四边形 BDFC 的面积 S＝2 2×3＝6 2；
②若 BD＝CD，过点 D 作 BC 的垂线，则垂足为 BC 的中点，不符合题意；
③若 BC＝CD，过点 D 作 DG⊥BC，垂足为 G，所以 CG＝2.
在 Rt△CDG 中，
DG＝ CD2－CG2＝ 9－4＝ 5，
∴四边形 BDFC 的面积 S＝3 5.
综上所述，当△BCD 是等腰三角形时，四边形 BDFC 的面积为 6 2或 3 5.
素养提升
证明：(1)∵Q 为 AB 的中点，
∴AQ＝BQ.
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ＝∠AEQ.
在△BFQ 和△AEQ 中，
∵∠BFQ＝∠AEQ，∠BQF＝∠AQE，BQ＝AQ，
∴△BFQ≌△AEQ，
∴QF＝QE.
又∵AQ＝BQ，
∴四边形 AEBF 是平行四边形．7
(2)如图，延长 FQ 交 AE 于点 D.
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴AE∥BF，
∴∠FBQ＝∠DAQ.
在△FBQ 和△DAQ 中，
∵∠FBQ＝∠DAQ，BQ＝AQ，∠BQF＝∠AQD，
∴△FBQ≌△DAQ，
∴QF＝QD.
∵AE⊥CP，
∴EQ 是 Rt△DEF 斜边上的中线，
∴QE＝QF＝QD，
∴△QEF 是等腰三角形．
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