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课时作业(二十一)
[2.7 正方形]
一、选择题
1．如图 K－21－1，在正方形 ABCD 中，P，Q 分别为 BC，CD 的中点，则∠CPQ 的度数为
( )
链接听课例3归纳总结
图 K－21－1
A．50° B．60° C．45° D．70°
2．2018·滨州下列命题，其中是真命题的为( )
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
3．2017·枣庄如图 K－21－2，把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，
折痕为 MN，再过点 B 折叠纸片，使点 A 落在 MN 上的点 F 处，折痕为 BE.若 AB 的长为 2，则
FM 的长为( )
图 K－21－2
A．2 B. 3 C. 2 D．1
4．如图 K－21－3，边长分别为 4 和 8 的两个正方形 ABCD 和 CEFG 并排放在一起，连接
BD 并延长交 EG 于点 T，交 FG 于点 P，则 GT 等于( )
图 K－21－3
A. 2 B．2 2 C．2 D．1
5．如图 K－21－4，F 是正方形 ABCD 的边 CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线
AC 于点 E，交 BF 于点 M，连接 BE，EF，则∠EBF 的度数是( )2
图 K－21－4
A．45° B．50°
C．60° D．无法确定
6．2017·钦州一模如图 K－21－5，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E 在 AB 边上，
EF⊥AC 于点 F，连接 EC，AF＝3，△EFC 的周长为 12，则 EC 的长为链接听课例3归纳总结( )
图 K－21－5
A.
7 2
2 B．3 2 C．5 D．6
7．2018·仙桃如图 K－21－6，在正方形 ABCD 中，AB＝6，G 是 BC 的中点．将△ABG 沿
AG 对折至△AFG，延长 GF 交 DC 于点 E，则 DE 的长是链接听课例3归纳总结( )
图 K－21－6
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
二、填空题
8．2017·齐齐哈尔矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，请你添加一个适当的条件：
________，使其成为正方形(只填写一个即可)．
9．如图 K－21－7 所示，直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过顶点 D，B 作 DE⊥a
于点 E，BF⊥a 于点 F.若 DE＝4，BF＝3，则 EF 的长为________．
图 K－21－7
10．2017·宿迁如图 K－21－8，正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 AB 上，且 BE＝1.
若点 P 在对角线 BD 上移动，则 PA＋PE 的最小值是________．
图 K－21－83
11．如图 K－21－9，在正方形 ABCD 中，F 为 CD 上一点，BF 与 AC 交于点 E.若∠CBF＝
20°，则∠AED 等于________°.
图 K－21－9
12．2018·武汉以正方形 ABCD 的边 AD 为一边作等边三角形 ADE，则∠BEC 的度数是
________．
三、解答题
13．如图 K－21－10，AB 是 CD 的垂直平分线，交 CD 于点 M，过点 M 作 ME⊥AC，MF⊥
AD，垂足分别为 E，F.
(1)求证：∠CAB＝∠DAB；
(2)若∠CAD＝90°，求证：四边形 AEMF 是正方形.链接听课例4归纳总结
图 K－21－10
14．如图 K－21－11，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点(不与点 B，C 重合)，将线段
EA 绕点 E 顺时针旋转 90°得到 EF，过点 F 作 BC 的垂线交 BC 的延长线于点 G，连接 CF.
图 K－21－11
(1)求证：△ABE≌△EGF；
(2)若 AB＝2，S△ABE＝2S△ECF，求 BE 的长．4
15．如图 K－21－12，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上移动，但点 A 到 EF
的距离 AH 始终保持与 AB 的长度相等，在点 E，F 的移动过程中：
(1)∠EAF 的大小是否有变化？请说明理由；
(2)△ECF 的周长是否有变化？请说明理由．
图 K－21－12
猜想、探究如图 K－21－13①所示，在正方形 ABCD 和正方形 CGEF 中，点 B，C，G 在同一条
直线上，M 是线段 AE 的中点，DM 的延长线交 EF 于点 N，连接 FM，易证：DM＝FM，DM⊥FM.
(1)如图②，当点 B，C，F 在同一条直线上，DM 的延长线交 EG 于点 N，其余条件不变时，
试探究线段 DM 与 FM 有怎样的关系，请写出猜想，并给予证明；
(2)如图③，当点 E，B，C 在同一条直线上，DM 的延长线交 CE 的延长线于点 N，其余条
件不变时，探究线段 DM 与 FM 有怎样的关系，请直接写出猜想．
图 K－21－1356
详解详析
课堂达标
1．[解析]C ∵四边形 ABCD 为正方形，∴BA＝DA＝BC＝CD，∠C＝90°.∵P，Q 分别为
BC，CD 的中点，∴CP＝CQ.∵∠C＝90°，∴∠CPQ＝45°.故选 C.
2．[解析] D 一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故 A 选项
是假命题；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故 B 选项是假命题；对角线相等的四边
形也可能是等腰梯形，故 C 选项是假命题；一组邻边相等的矩形是正方形是正确的，故 D 选
项是真命题．
3．[解析] B ∵四边形 ABCD 为正方形，AB＝2，过点 B 折叠纸片，使点 A 落在 MN 上的
点 F 处，∴FB＝AB＝2.∵把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为
MN，∴BM＝
1
2BC＝1.在 Rt△BMF 中，FM＝ FB2－BM2＝ 22－12＝ 3.故选 B.
4．[解析] B △BCD 与△GCE 都是等腰直角三角形，由此可以推出△GTD 也是等腰直角
三角形，GD＝4，由勾股定理可知 GT＝2 2.
5．[解析] A 如图，过点 E 作 EG⊥BC，EH⊥CD，垂足分别为 G，H，易证明△BEG≌△
FEH(HL)，得∠BEG＝∠FEH，所以∠BEF＝∠GEH＝90°，所以∠EBF＝45°.故选 A.
6．[解析] C ∵四边形 ABCD 是正方形，AC 为正方形 ABCD 的对角线，∴∠EAF＝45°.
又∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴∠AEF＝45°，∴EF＝AF＝3.∵△EFC 的周长为 12，∴FC＝
12－3－EC＝9－EC.在 Rt△EFC 中，EC2＝EF2＋FC2，∴EC2＝9＋(9－EC)2，解得 EC＝5.故选
C.
7．C
8．[答案] 答案不唯一，如 AC⊥BD 或 AB＝BC
[解析] 根据对角线互相垂直的矩形是正方形或一组邻边相等的矩形是正方形来添加条
件．
9．[答案] 7
[解析] 可证△ABF≌△DAE，则有 EF＝AF＋AE＝DE＋BF＝4＋3＝7.
10．[答案] 10
[解析] 连接 PC.根据正方形的对称性知 PA＝PC，所以当点 C，P，E 在同一条直线时，PA
＋PE＝PC＋PE＝CE 最小，再根据勾股定理求得 CE＝ BC2＋BE2＝ 32＋12＝ 10.
11．[答案] 65
[解析] ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°.在△ABE 与△ADE 中，
AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴∠AEB＝∠AED.∵∠CBF＝20°，∠
ABC＝90°，∴∠ABE＝70°，∴∠AED＝∠AEB＝180°－45°－70°＝65°.
12．[答案] 30°或 150°
[解析] 分两种情况：(1)如图①，等边三角形 ADE 在正方形 ABCD 的内部．∠CDE＝∠CDA
－∠ADE＝90°－60°＝30°.∵CD＝DE，∴∠DCE＝75°，∴∠ECB＝90°－75°＝15°，同
理可以得到∠EBC＝90°－75°＝15°，
∴∠BEC＝150°.7
(2)如图②，等边三角形 ADE 在正方形 ABCD 的外部．∠CDE＝∠CDA＋∠ADE＝90°＋60°
＝150°.∵CD＝DE，∴∠CED＝15°.同理∠AEB＝15°，∴∠BEC＝∠AED－∠CED－∠AEB＝
60°－15°－15°＝30°.
13．证明：(1)∵AB 是 CD 的垂直平分线，
∴AC＝AD，AB⊥CD，
∴∠CAB＝∠DAB(等腰三角形的三线合一)．
(2)∵ME⊥AC，MF⊥AD，∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠AEM＝∠AFM＝90°，
∴四边形 AEMF 是矩形．
又∵∠CAB＝∠DAB，ME⊥AC，MF⊥AD，
∴ME＝MF，∴矩形 AEMF 是正方形．
14．解：(1)证明：∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB＋∠GEF＝90°.
又∵∠ABE＝90°，
∴∠AEB＋∠BAE＝90°，
∴∠GEF＝∠BAE.
∵FG⊥BC，∴∠EGF＝90°＝∠ABE.
在△ABE 与△EGF 中，{∠ABE＝∠EGF，
∠BAE＝∠GEF，
AE＝EF，
∴△ABE≌△EGF(AAS)．
(2)∵△ABE≌△EGF，AB＝2，
∴AB＝EG＝2，S△ABE＝S△EGF.
∵S△ABE＝2S△ECF，∴S△EGF＝2S△ECF，
∴EC＝CG＝1.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴BC＝AB＝2，∴BE＝2－1＝1.
15．解：(1)∠EAF 的大小没有变化．
理由：根据题意，知 AB＝AH，∠B＝90°.
又∵AH⊥EF，∴∠AHE＝90°＝∠B.
在 Rt△BAE 和 Rt△HAE 中，
∵AE＝AE，AB＝AH，
∴Rt△BAE≌Rt△HAE，
∴∠BAE＝∠HAE＝
1
2∠BAH.
同理可证 Rt△HAF≌Rt△DAF，
∴∠HAF＝∠DAF＝
1
2∠HAD，8
∴∠EAF＝∠HAE＋∠HAF＝
1
2∠BAH＋
1
2∠HAD＝
1
2(∠BAH＋∠HAD)＝
1
2∠BAD.
又∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝45°，
∴∠EAF 的大小没有变化．
(2)△ECF 的周长没有变化．
理由：C△ECF＝EF＋EC＋FC，
由(1)得 BE＝EH，HF＝DF.
又∵BC＝DC，EF＝EH＋HF，EC＝BC－BE，FC＝DC－DF，
∴C△ECF＝BE＋DF＋BC－BE＋DC－DF＝BC＋DC＝2BC，
∴△ECF 的周长没有变化．
素养提升
[解析] (1)连接 DF，NF，由四边形 ABCD 和四边形 CGEF 是正方形，得到 AD∥BC，CF∥
GE，于是得到 AD∥GE，求得∠DAM＝∠NEM，证得△MAD≌△MEN，得出 DM＝NM，AD＝EN，推
出△DCF≌△NEF，证出△DFN 是等腰直角三角形，即可得到结论；
(2)连接 DF，NF，由四边形 ABCD 是正方形，得到 AD∥BC，由点 E，B，C 在同一条直线
上，得到 AD∥CN，求得∠ADM＝∠ENM，证得△MAD≌△MEN，得出 DM＝NM，AD＝EN，推出△DCF
≌△NEF，证出△DFN 是等腰直角三角形，于是得到结论．
解：(1)DM＝FM，DM⊥FM.
证明：如图，连接 DF，NF.
∵四边形 ABCD 和四边形 CGEF 是正方形，
∴AD∥BC，CF∥GE.
∵点 B，C，F 在同一条直线上，∴AD∥GE，
∴∠DAM＝∠NEM.
∵M 是 AE 的中点，∴AM＝EM.
在△MAD 与△MEN 中，
∵∠AMD＝∠EMN，AM＝EM，∠DAM＝∠NEM，∴△MAD≌△MEN，
∴DM＝NM，AD＝EN.
∵AD＝CD，∴CD＝EN.
又∵CF＝EF，∠DCF＝∠NEF＝90°，
∴△DCF≌△NEF，
∴DF＝NF，∠CFD＝∠EFN.
∵∠EFN＋∠NFC＝90°，
∴∠CFD＋∠NFC＝90°，
∴∠DFN＝90°，
即△DFN 是等腰直角三角形．
又∵DM＝NM，
∴DM＝FM，DM⊥FM.
(2)猜想：DM＝FM，FM⊥DM.
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