1
课时作业(十三)
[2.2.2 第 1 课时 利用边的关系判定平行四边形]
一、选择题
1．下列条件中不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝CD，AD∥BC
2．在四边形 ABCD 中，AD∥BC，要判定四边形 ABCD 是平行四边形，还应满足( )
A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180° D．∠A＋∠D＝180°
3．如图 K－13－1，已知在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD，E 为 AB 上一点，过点 E
作 EF∥BC，交 CD 于点 F，G 为 AD 上一点，H 为 BC 上一点，连接 CG，AH.若 GD＝BH，则图中
的平行四边形有链接听课例1归纳总结( )
图 K－13－1
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．6 个
4．2018·安徽在▱ABCD 中，E，F 是对角线 BD 上不同的两点，下列条件中，不能得出四
边形 AECF 一定为平行四边形的是( )
A．BE＝DF B．AE＝CF
C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
二、填空题
5．如图 K－13－2，A 是直线 l 外一点，在 l 上取两点 B，C，分别以点 A，C 为圆心，
BC，AB 的长为半径画弧，两弧交于点 D，分别连接 AB，AD，CD，则四边形 ABCD 一定是
________．
图 K－13－2
6．在四边形 ABCD 中，AD＝BC，要使四边形 ABCD 是平行四边形，还需添加一个条件，
这个条件可以是____________．(只要填写一种情况)
7．2017·凉山如图 K－13－3，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，D，E 分别
是 BC，AD 的中点，AF∥BC 交 CE 的延长线于点 F.则四边形 AFBD 的面积为________．
图 K－13－3
三、解答题
8．2017·山西已知：如图 K－13－4，在▱ABCD 中，延长线 AB 至点 E，延长 CD 至点 F，2
使得 BE＝DF.连接 EF，与对角线 AC 交于点 O.
求证：OE＝OF.
图 K－13－4
9．如图 K－13－5，点 E，F 在▱ABCD 的边 AB 的延长线上，且 BE＝AB，BF＝BD，连接
CE，DF 相交于点 M，CD 与 CM 是否相等？请说明理由.链接听课例1归纳总结
图 K－13－5
10．如图 K－13－6，在▱ABCD 中，M，N，P，Q 分别是 AB，BC，CD，DA 边上的点，且 AM
＝BN＝CP＝DQ.
求证：四边形 MNPQ 是平行四边形.链接听课例2归纳总结
图 K－13－63
11．如图 K－13－7，在四边形 ABCD 中，AD∥BC 且 AD＞BC，BC＝12，蚂蚁 P 从点 A 出
发，以 1 cm/s 的速度向点 D 运动，蚂蚁 Q 从点 C 出发，以 2 cm/s 的速度向点 B 运动，几秒
后四边形 APQB 恰好为平行四边形？
图 K－13－7
12．2018·孝感如图 K－13－8，B，E，C，F 在一条直线上，已知 AB∥DE，AC∥DF，BE
＝CF，连接 AD.
求证：四边形 ABED 是平行四边形．
图 K－13－8
13．2017·咸宁如图 K－13－9，点 B，E，C，F 在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝
FC.
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)连接 AF，BD，求证：四边形 ABDF 是平行四边形．
图 K－13－94
分类讨论思想已知在△ABC 中，AB＝AC，D 为△ABC 所在平面内的一点，过点 D 作 DE∥AB，DF
∥AC 分别交直线 AC，AB 于点 E，F.
(1)如图 K－13－10①，当点 D 在线段 BC 上时，通过观察分析线段 DE，DF，AB 之间的
数量关系，并说明理由；
(2)如图②，当点 D 在直线 BC 上，其他条件不变时，试猜想线段 DE，DF，AB 之间的数
量关系(请直接写出等式，不需要证明)；
(3)如图③，若 D 是△ABC 内一点，过点 D 作 DE∥AB，DF∥AC 分别交直线 AC，AB，BC
于点 E，F，G.试猜想线段 DE，DF，DG 与 AB 之间的数量关系(请直接写出等式，不需要证
明)．
图 K－13－105
详解详析
课堂达标
1．D 2.D
3．[解析] D 设 AH，CG 分别交 EF 于点 M，N.
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC.
又∵EF∥BC，
∴四边形 AEFD、四边形 BCFE 均为平行四边形．
∵GD＝BH，AD＝BC，∴AG＝CH.
又∵AG∥CH，∴四边形 AHCG 是平行四边形．
又∵EF∥BC，
∴四边形 AMNG、四边形 MNCH 均为平行四边形，
∴共有 6 个平行四边形．故选 D.
4．[解析]B 如图，由▱ABCD，得 AB＝CD，AB∥CD，所以∠ABE＝∠CDF，结合选项 A 和
选项 D 的条件可得到△ABE≌△CDF，进而得到 AE＝CF，AE∥CF，判断出四边形 AECF 一定为
平行四边形；结合选项 C 的条件可得到△ABF≌△CDE，所以 AF＝CE，判断出四边形 AECF 一
定为平行四边形；只有选项 B 不能判断出四边形 AECF 一定为平行四边形．
5．[答案] 平行四边形
[解析] ∵分别以点 A，C 为圆心，BC，AB 的长为半径画弧，两弧交于点 D，
∴AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
6．答案不唯一，如 AB＝CD
7．[答案] 12
[解析] ∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD.
∵AE＝DE，∠AEF＝∠DEC，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC.
∵BD＝DC，∴AF＝BD，
∴四边形 AFBD 是平行四边形，
∴S 四边形 AFBD＝2S△ABD，
又∵BD＝DC，∴S△ABC＝2S△ABD，
∴S 四边形 AFBD＝S△ABC.
∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，
∴S△ABC＝
1
2AB·AC＝
1
2×4×6＝12，
∴S 四边形 AFBD＝12.
8．证明：如图，连接 AF，CE.
在▱ABCD 中，由平行四边形的性质，得 AB∥DC，且 AB＝DC.6
又∵BE＝DF，∴AB＋BE＝DC＋DF，
即 AE＝FC.又∵AB∥DC，
∴四边形 AECF 是平行四边形，∴OE＝OF.
9．解：CD＝CM.
理由：如图，由四边形 ABCD 是平行四边形，得 AB∥CD，AB＝CD，
所以∠2＝∠F.
因为 BE＝AB，所以 BE＝CD.
又因为 BE∥CD，所以四边形 BECD 是平行四边形，所以 BD∥CE，所以∠1＝∠3.
又因为 BD＝BF，所以∠1＝∠F，
所以∠2＝∠3，所以 CD＝CM.
10．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C.
∵AM＝BN＝CP＝DQ，
∴BM＝DP，AQ＝CN.
在△AMQ 和△CPN 中，
∵AM＝CP，∠A＝∠C，AQ＝CN，
∴△AMQ≌△CPN，∴MQ＝PN.
同理可证△BMN≌△DPQ，∴MN＝PQ，
∴四边形 MNPQ 是平行四边形．
11．解：设 x 秒后四边形 APQB 恰好为平行四边形，则 12－2x＝x，解得 x＝4.
故 4 秒后四边形 APQB 恰好为平行四边形．
12．证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF.
∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F.
∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋CE，
∴BC＝EF.
在△ABC 和△DEF 中，{∠B＝∠DEF，
BC＝EF，
∠ACB＝∠F，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴AB＝DE.
∵AB∥DE，∴四边形 ABED 是平行四边形．
13．证明：(1)∵BE＝FC，
∴BE＋EC＝FC＋EC，即 BC＝FE.
在△ABC 与△DFE 中，{AB＝DF，
AC＝DE，
BC＝FE，
∴△ABC≌△DFE(SSS)．
(2)如图，由(1)知△ABC≌△DFE，7
∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF.
由△ABC≌△DFE，得 AB＝DF，
∴四边形 ABDF 是平行四边形．
素养提升
解：(1)DE＋DF＝AB.
理由：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形 AEDF 是平行四边形，
∴DE＝AF.∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴∠FDB＝∠B，∴DF＝FB，
∴DE＋DF＝AF＋FB＝AB.
(2)当点 D 在直线 BC 上时，分三种情况：①当点 D 在 CB 的延长线上时，如图(a)，AB＝
DE－DF；②当点 D 在线段 BC 上时，由(1)得 AB＝DE＋DF；③当点 D 在 BC 的延长线上时，如
图(b)，AB＝DF－DE.
(3)AB＝DE＋DG＋DF.
微信/支付宝扫码支付