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课时作业(十五)
[2.3 中心对称和中心对称图形]
一、选择题
1．2017·济宁下列图形是中心对称图形的是链接听课例1归纳总结( )
图 K－15－1
2．小明将这 4 张牌 中的 3 张旋转 180°后得到
，没有动的牌是( )
图 K－15－2
3．如图 K－15－3，△ABC 与△A′B′C′关于点 O 成中心对称，则下列结论不成立的是
( )
链接听课例2归纳总结
图 K－15－3
A．点 A 与点 A′是对称点
B．BO＝B′O
C．AB∥A′B′
D．∠ACB＝∠C′A′B′
4．下列说法中，正确的有( )
①线段两端点关于它的中点对称；
②平行四边形一组对边关于对角线的交点对称；
③成中心对称的两个图形一定全等；
④如果两个图形全等，那么这两个图形一定关于某点成中心对称；
⑤如果两个三角形的对应点的连线都经过同一点，那么这两个三角形成中心对称．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个2
5．如图 K－15－4，四边形 ABCD 是中心对称图形，对称中心为点 O，过点 O 的直线分别
与 AD，BC 交于点 E，F，则图中相等的线段有( )
图 K－15－4
A．3 对 B．4 对
C．5 对 D．6 对
二、填空题
6．请举出一个既是轴对称图形又是中心对称图形的例子：________．
7．如图 K－15－5，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂上阴影，
与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是________．
图 K－15－5
8．图 K－15－6 是一个中心对称图形，点 A 为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC
＝1，则 AB′的长是________．
图 K－15－6
9．如图 K－15－7，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，弧 OA 与弧 OC 关于点 O 成中心对称，则
AB，BC，弧 OC，弧 OA 所围成的图形的面积是________cm2.
图 K－15－7
三、解答题
10．已知四边形 ABCD，按要求画出图形．
(1)在图 K－15－8①中，画出以点 D 为对称中心，并且与四边形 ABCD 成中心对称的四
边形；
(2)在图 K－15－8②中，画出以四边形 ABCD 外一点 O 为对称中心，并且与四边形 ABCD
成中心对称的四边形.链接听课例3归纳总结
图 K－15－83
11．2017·天门如图 K－15－9，下列 4×4 网格图都是由 16 个完全相同的小正方形组
成的，每个网格图中均有 4 个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按要求涂上阴
影．
(1)在图①中选取 2 个空白小正方形涂上阴影，使 6 个阴影小正方形组成一个中心对称
图形；
(2)在图②中选取 2 个空白小正方形涂上阴影，使 6 个阴影小正方形组成一个轴对称图
形，但不是中心对称图形．
图 K－15－9
12．如图 K－15－10，线段 AC，BD 相交于点 O，AB∥CD，AB＝CD.线段 AC 上的两点 E，
F 关于点 O 成中心对称．求证：BF＝DE.链接听课例2归纳总结
图 K－15－10
13．已知：如图 K－15－11，AD 是△ABC 的中线．
(1)画出与△ADC 关于点 D 成中心对称的三角形；
(2)找出(1)中所画图形中与 AC 相等的线段；
(3)探索 AB，AC 的和与中线 AD 之间的关系，并说明理由；
(4)若 AB＝3，AC＝5，则线段 AD 的取值范围是多少？
图 K－15－114
14.如图 K－15－12，从前一个财主有一块平行四边形的土地，地里有一个圆形的池
塘．财主立下遗嘱：要把这块地平分给他的两个儿子，池塘也要平分．但不知怎么做，你能
帮他想个办法吗？
图 K－15－12
已知：如图 K－15－13，△ABM 与△ACM 关于直线 AF 成轴对称，△ABE 与△DCE 关于点 E 成
中心对称，点 E，D，M 都在线段 AF 上，BM 的延长线交 CF 于点 P.
(1)求证：AC＝DC；
(2)若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．
图 K－15－135
详解详析
课堂达标
1．C 2.C 3.D 4.B
5．[解析] C 连接 OA，OB，OC，OD.∵四边形 ABCD 是中心对称图形，对称中心为点 O，∴
OA＝OC，OB＝OD，∴四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，OE＝OF，AE＝CF，BF＝
DE，故相等的线段共有 5 对．故选 C.
6．答案不唯一，如圆
7．②
8．[答案] 2
[解析] ∵此图形是中心对称图形，点 A 为对称中心，∴AB′＝AB.∵∠C＝90°，∠B＝
30°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2，∴AB′＝AB＝2.故答案为 2.
9．[答案] 2
[解析] 由弧 OA 与弧 OC 关于点 O 成中心对称，根据中心对称的性质可知，若连接 AC，
则 O 为 AC 的中点，题中所求面积等于△BAC 的面积．
[点评] 根据中心对称的性质，把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解
决本题的关键．
10．[解析] 关于某点成中心对称的两个图形的对称点的连线都经过对称中心，并且被
对称中心平分，由此可分别画出以 D，O 为对称中心，与四边形 ABCD 成中心对称的四边
形．
解：(1)如图(a)所示，连接 BD.
①分别延长 AD，BD，CD 到点 A′，B′，C′，
使 A′D＝AD，B′D＝BD，C′D＝CD；
②顺次连接 A′B′，B′C′，C′D，DA′.
则四边形 A′B′C′D 与四边形 ABCD 关于点 D 成中心对称．
(2)如图(b)所示．
①分别连接 AO，BO，CO，DO，并延长到点 A′，B′，C′，D′，使 OA′＝OA，OB′＝
OB，OC′＝OC，OD′＝OD；
②顺次连接 A′B′，B′C′，C′D′，D′A′.
则四边形 A′B′C′D′与四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称．
11．解：(1)答案不唯一，如图所示：
(2)答案不唯一，如图所示：
12．证明：如图，连接 AD，BC.6
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OB＝OD.
∵点 E，F 关于点 O 成中心对称，
∴OF＝OE.
在△BOF 和△DOE 中，
∵OB＝OD，∠BOF＝∠DOE(对顶角相等)，OF＝OE，
∴△BOF≌△DOE，∴BF＝DE.
13．解：(1)如图，△A′BD 即为所求作的三角形．
(2)根据中心对称的性质可得 A′B＝AC.
(3)AB＋AC>2AD.理由如下：
由(2)知 A′B＝AC，
∴AB＋AC＝AB＋A′B.
由中心对称的性质，知 AD＝A′D，
在△A′BA 中，由三角形的两边之和大于第三边可知 AB＋A′B>AA′，
即 AB＋AC>2AD.
(4)1＜AD＜4.
14．解：过平行四边形的中心和圆心作一条直线，该直线将平行四边形和圆都分成面积
相等的两部分(图略)．
素养提升
解：(1)证明：∵△ABM 与△ACM 关于直线 AF 成轴对称，
∴△ABM≌△ACM，
∴AB＝AC.
又∵△ABE 与△DCE 关于点 E 成中心对称，
∴△ABE≌△DCE，∴AB＝DC，
∴AC＝DC.
(2)∠F＝∠MCD.
理由：由(1)可得△ABM≌△ACM，AC＝DC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠CDE，∠CMA＝∠BMA.
∵∠BAC＝2∠MPC，∠BMA＝∠PMF，
∴设∠MPC＝α，∠BMA＝β，则∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝α，∠PMF＝∠CMA＝β.
∵∠F＝∠MPC－∠PMF＝α－β，∠MCD＝∠CDE－∠CMA＝α－β，
∴∠F＝∠MCD.
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