第2章 四边形
2.5 矩形2.5.1 矩形的性质
目标突破
总结反思
第2章 四边形
知识目标2.5 矩形
知识目标知识目标
1．经过操作、观察、讨论，理解矩形的定义、对称性及其与
平行四边形的联系．
2．类比探索平行四边形的边、角、对角线性质的方法探索出
矩形的性质，能利用这些性质进行计算或证明．目标突破目标突破
目标一 能正确认识矩形及矩形的对称性
例1 教材补充例题 下面对矩形的叙述错误的是( )
A．矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点
B．矩形是轴对称图形，它有四条对称轴
C．矩形是特殊的平行四边形
D．推动一个平行四边形的活动框架，当有一个角变成直角时，
这个四边形就会成为矩形
B
2.5 矩形[解析] B 根据矩形的定义，矩形是有一个角是直角的平行四边形，而
平行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线的交点，所以选项A
，C，D都正确；矩形虽然是轴对称图形，但对称轴只有两条，所以选项
B错误．故选B.
2.5 矩形【归纳总结】 理解矩形的定义和对称性
(1)矩形是特殊的平行四边形，有一个角是直角的平行四边形
是矩形．
(2)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的对称中心是
对角线的交点；它的对称轴只有两条，分别是过对边中点的直
线．
2.5 矩形目标二 会应用矩形的性质计算或证明
例2 教材补充例题 如图2－5－1，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点
E，∠DCE∶∠ECB＝2∶1.求∠ACE的度数．
图2－5－1
2.5 矩形[解析] 根据矩形的每一个内角都等于90°和条件∠DCE∶∠ECB＝2∶1，
可以求出∠DCE＝60°，∠ECB＝30°，进而求出∠CBE＝60°，所以
△OCB是等边三角形，推出CE平分∠OCB，所以∠ACE的度数可求得．
2.5 矩形解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝90°，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OB＝OC.
∵∠DCE＋∠ECB＝∠DCB＝90°，∠DCE∶∠ECB＝2∶1，
∴∠DCE＝60°，∠ECB＝30°.
∵CE⊥BD，∴∠CEB＝90°，∴∠CBE＝60°.
又∵OB＝OC，
∴△OCB是等边三角形，∴∠ACB＝60°.
又∵CE⊥BD，
∴CE平分∠OCB，∴∠ACE＝30°.
2.5 矩形【归纳总结】 矩形的性质
(1)矩形的四个角都是直角；
(2)矩形对角线的交点到矩形四个顶点的距离相等．
2.5 矩形例3 教材补充例题 如图2－5－2所示，在矩形ABCD中，对角线
AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AC＝6.
求：(1)AB的长；
(2)求矩形ABCD的面积．
图2－5－2
2.5 矩形2.5 矩形解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°.
又∵∠BOC＝120°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴AB＝AC＝×6＝3.
(2)在Rt△ABC中，
∵AB2＋BC2＝AC2，
∴BC＝＝3 ，
∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝3×3 ＝9 .
2.5 矩形【归纳总结】 矩形性质的应用
(1)利用矩形的四个角都是直角，可以构造直角三角形，结合勾
股定理解决求边长的问题；
(2)利用矩形的对角线互相平分，可知由对角线分成的四个三角
形的面积相等，进而可解决求面积问题．
2.5 矩形总结反思总结反思
知识点一 矩形的概念
小结
有一个角是________的平行四边形叫作矩形，也称为长方形．直角
2.5 矩形知识点二 矩形的性质
(1)具有平行四边形的所有性质；
(2)四个角相等，都是________；
(3)对角线__________________．
直角
直角且互相平分
2.5 矩形知识点三 矩形的轴对称性
矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称
轴．矩形有两条对称轴．
2.5 矩形知识点四 矩形的中心对称性
矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．
2.5 矩形反思
在矩形ABCD中，∠ABC的平分线分矩形的边AD为1 cm和3 cm的
两部分，则这个矩形的面积为__4__cm2.
(1)错因分析：
(2)正解：
2.5 矩形解：(1)没有仔细审题，题中没有具体指出AD分得
的两部分的长分别为多少，应分类讨论．
(2)如图：
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE.
①当AE＝1 cm，ED＝3 cm时，AB＝CD＝1 cm，AD＝BC＝1＋3＝4(cm)，
此时矩形的面积是1×4＝4(cm2)；
②当AE＝3 cm，ED＝1 cm时，AB＝CD＝3 cm，AD＝BC＝4 cm，
此时矩形的面积是3×4＝12(cm2)．
故矩形ABCD的面积为4 cm2或12 cm2.
2.5 矩形
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