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课时作业(十八)
[2.5.2 矩形的判定]
一、选择题
1．下列四边形中，不一定是矩形的是( )
链接听课例2归纳总结
A．四个角都相等的四边形
B．有三个角是直角的四边形
C．一组对边平行，且对角线相等的四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形
2．如图 K－18－1，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，连接 EB，
EC，DB，添加一个条件，不能使四边形 DBCE 成为矩形的是( )
图 K－18－1
A．AB＝BE B．DE⊥DC
C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
3．2017·上海在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，
能判断这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB
二、填空题
4．2018·龙东如图 K－18－2，在平行四边形 ABCD 中，添加一个条件：________，使
平行四边形 ABCD 是矩形．
图 K－18－2
5．如图 K－18－3，在四边形 ABCD 中，对角线 AC⊥BD，垂足为 O，E，F，G，H 分别为
边 AD，AB，BC，CD 的中点，则四边形 EFGH 为________形．
图 K－18－3
6．如图 K－18－4，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA＝OB，∠OAD＝65°，
则∠ODC＝________°.2
图 K－18－4
7．如图 K－18－5，AB∥CD，∠A＝∠B＝90°，AB＝3 cm，BC＝2 cm，则 AB 与 CD 之间
的距离为________ cm.
图 K－18－5
8．如图 K－18－6，为了检查平行四边形书架 ABCD 的侧边是否与上、下边都垂直，工
人师傅用一根绳子比较其对角线 AC，BD 的长度．若二者长度相等，则该书架的侧边与上、
下边都垂直，请你说出其中的数学原理：_____________________________________.
图 K－18－6
三、解答题
9．如图 K－18－7，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，DE，DF 是△ABC 的中位线，连接 EF，
CD.
求证：EF＝CD.链接听课例2归纳总结
图 K－18－7
10．2018·青岛如图 K－18－8，在▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，G 为 AD 的中
点，连接 CG，CG 的延长线交 BA 的延长线于点 F，连接 FD.
(1)求证：AB＝AF；
(2) 若 AG ＝ AB ， ∠ BCD ＝ 120 ° ， 判 断 四 边 形 ACDF 的 形 状 ， 并 证 明 你 的 结 论 .
链接听课例3归纳总结
图 K－18－83
11．如图 K－18－9，E 为▱ABCD 外一点，且 AE⊥EC，BE⊥ED.求证：▱ABCD 是矩形．
图 K－18－9
12．如图 K－18－10，在△ABC 中，O 是 AC 边上(端点除外)的一个动点，过点 O 作直线
MN∥BC.设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F，连接 AE，AF.那么当
点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论．
图 K－18－104
13．2017·娄底如图 K－18－11，在▱ABCD 中，各内角的平分线分别相交于点 E，F，G，
H.
(1)求证：△ABG≌△CDE；
(2)猜一猜：四边形 EFGH 是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；
(3)若 AB＝6，BC＝4，∠DAB＝60°，求四边形 EFGH 的面积．
图 K－18－11
分类讨论思想如图 K－18－12，以△ABC 的三边为边，在 BC 的同一侧分别作等边三角形
ABD，等边三角形 BCE，等边三角形 ACF.请回答下面的问题：
(1)当△ABC 满足什么条件时，以 A，D，E，F 为顶点的四边形不存在？
(2)当∠BAC≠60°时，四边形 ADEF 是什么四边形？
(3)当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是矩形？
图 K－18－125
详解详析
课堂达标
1．C
2．B
3．[解析] C A 项，由∠BAC＝∠DCA 不能判断四边形 ABCD 是矩形；B 项，由∠BAC＝∠
DAC 能判定四边形 ABCD 是菱形，但不能判定四边形 ABCD 是矩形；C 项，∠BAC＝∠ABD 能得
出对角线相等，能判断四边形 ABCD 是矩形；D 项，由∠BAC＝∠ADB 不能判断四边形 ABCD 是
矩形．故选 C.
4．[答案] AC＝BD 或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠CDA＝90°或∠DAB＝90°或 AB⊥
BC 等(答案不唯一)
[解析] 根据矩形的判定可知：添加 AC＝BD 或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠CDA＝90°
或∠DAB＝90°或 AB⊥BC 后可使平行四边形 ABCD 是矩形．
5．[答案] 矩
[解析] ∵E，F，G，H 分别为边 AD，AB，BC，CD 的中点，∴HE∥AC, GF∥AC，∴HE∥
GF，同理，HG∥EF，∴四边形 EFGH 是平行四边形．由 AC⊥BD，易证∠EHG＝90°，∴四边形
EFGH 是矩形．
6．[答案] 25
[解析] ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝
OD，∴AC＝BD，∴四边形 ABCD 是矩形，∴∠ADC＝90°.∵∠ODA＝∠OAD＝65°，∴∠ODC＝∠
ADC－∠ODA＝25°.
7．[答案] 2
[解析] ∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，∠B＋∠C＝180°.∵∠A＝∠B＝90°，∴∠C＝
∠D＝90°，∴四边形 ABCD 为矩形，∴AB 与 CD 之间的距离为 BC 的长．∵BC＝2 cm，∴AB
与 CD 之间的距离为 2 cm.
8．对角线相等的平行四边形是矩形
9．证明：∵DE，DF 是△ABC 的中位线，
∴DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形 DECF 是平行四边形．
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形 DECF 是矩形，
∴EF＝CD.
10．解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFG＝∠DCG.
∵GA＝GD，∠AGF＝∠DGC，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF＝CD，
∴AB＝AF.
(2)四边形 ACDF 是矩形．
证明：∵AF＝CD，AF∥CD，
∴四边形 ACDF 是平行四边形．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，6
∴∠FAG＝180°－∠BAD＝60°.
∵AB＝AG＝AF，
∴△AGF 是等边三角形，
∴AG＝GF.
∵△AGF≌△DGC，
∴FG＝CG.
∵AG＝GD，
∴AD＝CF，
∴四边形 ACDF 是矩形．
11．证明：连接 AC，BD，相交于点 O，连接 OE.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE⊥EC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝
1
2AC.
∵BE⊥ED，
∴∠BED＝90°，
∴OE＝
1
2BD.
∴AC＝BD，
∴▱ABCD 是矩形．
12．解：当点 O 运动到 AC 的中点(或 OA＝OC)时，四边形 AECF 是矩形．
证明：如图，∵CE 平分∠BCA，
∴∠1＝∠2.
又∵MN∥BC，
∴∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2，
∴OE＝OC.
同理可证 OF＝OC，
∴OE＝OF.
又∵OA＝OC，
∴OE＝OF＝OC＝OA，
∴AC＝EF，
∴四边形 AECF 是矩形．
13．解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠CDA.
∵BG 平分∠ABC，DE 平分∠CDA.7
∴∠ABG＝
1
2∠ABC，∠CDE＝
1
2∠CDA，
∴∠ABG＝∠CDE.
同理可证∠GAB＝∠ECD.
∴△ABG≌△CDE(ASA)．
(2)四边形 EFGH 是矩形．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ADC＋∠DAB＝180°.
∵DE 平分∠CDA，AG 平分∠DAB，
∴∠EDA＋∠DAG＝
1
2∠ADC＋
1
2∠DAB＝90°，∴∠AHD＝90°.
∴∠GHE＝90°.
同理可证∠HEF＝90°，∠EFG＝90°.
∴四边形 EFGH 是矩形．
(3)如图，延长 DE 交 AB 于点 M.
∵∠DAB＝60°，∴∠ADC＝180°－60°＝120°，
∴∠ADM＝
1
2∠ADC＝
1
2×120°＝60°，
∴△ADM 是等边三角形，
∴AM＝AD＝4.
∵AB＝6，
∴BM＝2.
过点 M 作 MN⊥BF 于点 N，
∵∠ABG＝
1
2∠ABC＝
1
2×120°＝60°，
∴MN＝ 3.由题可知四边形 EFNM 为矩形，
∴EF＝MN＝ 3.
延长 CE 交 AB 于点 O.由题可知∠ABC＝120°，∠BCO＝
1
2∠BCD＝
1
2∠DAB＝30°.
∴∠COB＝30°，
∴OB＝CB，
∴OB＝BC＝4，
∴OA＝2.
过点 O 作 OP⊥AH 于点 P.
∵∠PAO＝
1
2∠DAB＝30°，
∴OP＝1.由题可知，四边形 PHEO 为矩形，
∴OP＝HE＝1，
∴四边形 EFGH 的面积＝EH·EF＝ 3.
素养提升8
解：(1)当△ABC 是等边三角形时，点 D，A，F 在同一条直线上，此时以 A，D，E，F 为
顶点的四边形不存在．
(2)以△ABC 的三边为边，在 BC 的同侧分别作等边三角形 ABD，等边三角形 BCE，等边
三角形 ACF，易得∠BCA＝∠ECF.又因为 AC＝FC，BC＝EC，所以△BAC≌△EFC，得 EF＝AB＝
AD.同理得△BDE≌△BAC，得 DE＝AC＝AF，所以四边形 ADEF 是平行四边形．
(3)当△ABC 中的∠BAC＝150°时，四边形 ADEF 是矩形．
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