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课时作业(二十)
[2.6.2 菱形的判定]
一、选择题
1．如图 K－20－1，在▱ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB＝2，则▱ABCD 的周长为( )
图 K－20－1
A．4 B．6 C．8 D．12
2．如图 K－20－2，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC 沿边 BC 折叠，得到△DBC，其与原三
角 形 ABC 拼 成 四 边 形 ABDC ， 则 能 直 接 判 定 四 边 形 ABDC 是 菱 形 的 依 据 是
链接听课例1归纳总结( )
图 K－20－2
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四条边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
3．2017·河南如图 K－20－3，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，添加下列条件
不能判定▱ABCD 是菱形的是链接听课例3归纳总结( )
图 K－20－3
A．AC⊥BD B．AB＝BC
C．AC＝BD D．∠1＝∠2
4．如图 K－20－4，四边形 ABCD 的四边相等，且面积为 120 cm2，对角线 AC＝24 cm，
则四边形 ABCD 的周长为( )
图 K－20－4
A．52 cm B．40 cm C．39 cm D．26 cm2
5．如图 K－20－5，在菱形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是菱形四边的中点，连接 EG 与 FH
交于点 O，则图中共有菱形( )
图 K－20－5
A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个
6．图 K－20－6 是一张平行四边形纸片 ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，
甲、乙两名同学的作法分别如下，对于甲、乙两人的作法，可判断( )
甲：连接 AC，作 AC 的中垂线分别交 AD，BC 于
点 E，F，连接 AF，CE，则四边形 AFCE 是菱形．
乙：分别作∠BAD 与∠ABC 的平分线 AE，BF，
分别交 BC，AD 于点 E，F，则四边形 ABEF 是菱形．
图 K－20－6
A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
二、填空题
7．如图 K－20－7，在▱ABCD 中，AB＝6 cm，AD＝8 cm，点 M，N 分别在 AD，BC 上，且
DM＝CN＝2 cm，则四边形 ABNM 是________形，判断的依据是______________________．
图 K－20－7
8．如图 K－20－8，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，点 E，F 分别在线段 AD 及其延长线上，
且 DE＝DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥EC；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形 BECF
是菱形，你认为这个条件是________(只填写序号)．
图 K－20－8
三、解答题
9．2018·郴州如图 K－20－9，在▱ABCD 中，作对角线 BD 的垂直平分线 EF，垂足为 O，
分别交 AD，BC 于点 E，F，连接 BE，DF.求证：四边形 BFDE 是菱形．3
图 K－20－9
10.2018·南京如图 K－20－10，在四边形 ABCD 中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD，O 是四边形
ABCD 内的一点，且 OA＝OB＝OD.
求证：(1)∠BOD＝∠C；
(2)四边形 OBCD 是菱形.链接听课例1归纳总结
图 K－20－10
11．2018·娄底如图 K－20－11，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BC 相交于点 O，且 OA
＝OC，OB＝OD，过点 O 作 EF⊥BD，分别交 AD，BC 于点 E，F.
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)判断四边形 BEDF 的形状，并说明理由．
图 K－20－114
12．如图 K－20－12，已知 AD 是△ABC 的角平分线，DE∥AC 交 AB 于点 E，DF∥AB 交 AC
于点 F.求证：AD⊥EF.
图 K－20－12
操作探究小明用两条宽度均为 d cm 的长方形纸条交错地叠在一起，相交成∠α(如图 K－20
－13)，设重叠部分是四边形 ABCD.
(1)他发现：不管∠α 是锐角、直角还是钝角，四边形 ABCD 的形状好像总不变，请你
判断它的形状，并说出理由；
(2)分别求出当 d＝1，∠α＝45°和 d＝ 3，∠α＝60°时重叠部分的面积．
图 K－20－135
详解详析
课堂达标
1．C
2．[解析] B ∵将△ABC 沿边 BC 折叠得到△DBC，∴AB＝BD，AC＝CD.∵AB＝AC，∴AB
＝BD＝CD＝AC，∴四边形 ABDC 是菱形．故选 B.
3．[解析] C A 项，∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC⊥BD，∴▱ABCD 是菱形(对角线互
相垂直的平行四边形是菱形)；B 项，∵四边形 ABCD 是平行四边形，AB＝BC，∴▱ABCD 是菱
形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)；C 项，∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC＝BD，∴▱
ABCD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)；D 项，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥
BC，∴∠1＝∠ACB.∵∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠2，∴AB＝BC，∴▱ABCD 是菱形(一组邻边相等
的平行四边形是菱形)．故选 C.
4．[解析] A 连接 BD.∵四边形 ABCD 的四边相等，∴四边形 ABCD 为菱形．
∵它的面积为 120 cm2，对角线 AC＝24 cm，
∴120＝
1
2×24×BD，∴BD＝10cm，∴AB＝ 52＋122＝13(cm)，∴四边形 ABCD 的周长为
4×13＝52(cm)．
故选 A.
5．[解析] B ∵四边形 ABCD 是菱形，E，F，G，H 分别是菱形四边的中点，
∴AE＝AH＝HD＝GD＝CG＝CF＝FB＝BE＝OE＝OG＝OH＝OF，
∴四边形 AEOH，HOGD，EOFB，OFCG 和 ABCD 均为菱形，共 5 个．
6．[解析] A 甲的作法正确，如图①.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO.
∵EF 是 AC 的垂直平分线，
∴AO＝CO.
在△AOE 和△COF 中，
{∠EAO＝∠FCO，
AO＝CO，
∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，
∴四边形 AECF 是平行四边形．
又∵EF⊥AC，
∴四边形 AECF 是菱形．
乙的作法正确，如图②.6
∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6.
∵BF 平分∠ABC，AE 平分∠BAD，
∴∠2＝∠3，∠4＝∠5，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠6，
∴AB＝AF，AB＝BE，∴AF＝BE.
∵AF∥BE 且 AF＝BE，
∴四边形 ABEF 是平行四边形．
又∵AB＝AF，∴▱ABEF 是菱形．
故选 A.
7．菱 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
8．[答案] ③
[解析] 需添加条件③.理由：∵D 是 BC 的中点，∴BD＝CD.又∵DE＝DF，∴四边形 BECF
为平行四边形．∵AB＝AC，D 是 BC 的中点， ∴AD⊥BC，∴▱BECF 为菱形，故答案为③.
9．解：如图．∵EF 是 BD 的垂直平分线，
∴BE＝DE，BF＝DF，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴DE∥BF，∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴BE∥DF，∴四边形 BFDE 是平行四边形．
∵EF⊥BD，∴四边形 BFDE 是菱形．
10．证明：(1)∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA，∠BOD＝360°－∠AOD
－∠AOB，∠AOB＝180°－∠OAB－∠OBA＝180°－2∠OAB，∠AOD＝180°－∠OAD－∠ODA＝
180°－3∠OAD，
∴∠BOD＝360°－(180°－2∠OAD)－(180°－2∠OAB)＝2∠OAD＋2∠OAB＝2(∠OAD＋
∠OAB)＝2∠BAD.
又∵∠C＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠C.
(2)连接 OC.
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△BOC≌△DOC，
∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，
∴∠BOC＝
1
2∠BOD，∠BCO＝
1
2∠BCD.
由(1)知∠BOD＝∠C，7
∴∠BOC＝∠BCO，
∴OB＝CB.
又∵OB＝OD，CB＝CD，
∴OB＝BC＝CD＝DO，
∴四边形 OBCD 是菱形．
11．解：(1)证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO.
在△AOE 和△COF 中，{∠EAO＝∠FCO，
OA＝OC，
∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)．
(2)结论：四边形 BEDF 是菱形．
∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴DE＝BF.
∵DE∥BF，
∴四边形 BEDF 是平行四边形．
∵EF⊥BD，
∴四边形 BEDF 是菱形．
12．[解析] 要证 AD⊥EF，可先证明四边形 AEDF 为菱形．由题意可得四边形 AEDF 为平
行四边形，再证一组邻边相等即可．
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形 AEDF 为平行四边形．
∵AD 是△ABC 的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD.
∵DE∥AC，
∴∠FAD＝∠EDA，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE，
∴四边形 AEDF 为菱形，
∴AD⊥EF.
素养提升
解：(1)四边形 ABCD 是菱形．
理由：∵两长方形纸条对边平行，
∴AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F，
则 AE＝AF＝d.
又∵S▱ABCD＝AE·BC＝AF·CD，
∴BC＝CD，
∴▱ABCD 是菱形．8
(2)当 d＝1，∠α＝45°时，∠ADF＝45°，
AF＝1 cm，而 AF⊥CD，
∴△ADF 是等腰直角三角形且 AF＝DF.
又∵AD2＝AF2＋DF2，
∴AD＝ 2 cm，
∴CD＝AD＝ 2 cm，
∴重叠部分的面积＝CD·AF＝ 2×1＝ 2(cm2)．
当 d＝ 3，∠α＝60°时，∠ADF＝60°，AF＝ 3 cm，则 DF＝
1
2AD，
利用勾股定理可得 AD＝2 cm，
∴CD＝AD＝2 cm，
∴重叠部分的面积＝CD·AF＝2× 3＝2 3(cm2)．
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