第2章 四边形本章总结提升
知识框架
整合提升
第2章 四边形知识框架知识框架
四
边
形
四边形
平行四边形
特殊的平行
四边形
多边形的内角和与外角和
多边形的对角线的条数
定义、性质、判定
三角形的中位线
中心对称图形
矩形
菱形
正方形
定义、性质、判定
本章总结提升整合提升整合提升
问题1 多边形的内角和与外角和
本章总结提升
三角形的内角和是180°，四边形的内角和是多少？过n边形一
个顶点的对角线有多少条？n边形可分成多少个三角形？n边形
的内角和与这些三角形的内角和有什么关系？n边形的内角和与
边数n的关系是什么？n边形的外角和与边数有关吗？本章总结提升
例1 一个多边形的内角和与某一个内角的度数总和为2190°，
求这个多边形的边数．
[解析] 设多边形的边数为n，用含n的代数式表示出某一个内角的度数，
再根据这一内角应大于0°而小于180°，可得到关于n的一元一次不等
式组，求得不等式组的整数解即可求得多边形的边数．本章总结提升本章总结提升
【归纳总结】 已知内角和与内角的关系求边数的方法
设边数为n，用含n的代数式表示内角，根据内角的取值范围
(0°－180°)列出不等式组，求出解集，再求出整数解即可求
得n.问题2 特殊平行四边形的性质与判定的综合运用
本章总结提升
平行四边形、菱形、矩形、正方形的边、角、对角线各有什么
性质？如何判定平行四边形？本章总结提升
图2－T－1本章总结提升本章总结提升问题3 特殊四边形的性质与判定
本章总结提升
平行四边形以及特殊的平行四边形的边、角、对角线的性质是
什么？有什么作用？本章总结提升
例3 如图2－T－2，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，
EF与BC交于点G，连接AE，CF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的度数．
图2－T－2本章总结提升
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°.
∵BE⊥BF，
∴∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.
又∵BE＝BF，
∴△ABE≌△CBF，∴AE＝CF.
(2)∵BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠BEF＝45°.
∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，
∴∠GBE＝35°，
∴∠EGC＝∠GBE＋∠BEF＝80°.本章总结提升
【归纳总结】 与特殊四边形相关的线段相等的证明思路
(1)直接运用特殊四边形的对边相等．
(2)直接运用特殊四边形的对角线互相平分．
(3)借助特殊四边形的性质证明三角形全等．
(4)借助特殊四边形的性质证明等腰三角形、等边三角形、直
角三角形．
(5)借助特殊四边形的性质和中位线解题．本章总结提升
例4 在▱ABCD中，AC，BD交于点O，过点O作直线EF，GH，分别交
平行四边形的四条边于E，G，F，H四点，连接EG，GF，FH，HE.
图2－T－3本章总结提升
(1)如图2－T－3①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
(2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是________；
(3)如图③，在(2)的条件下，若AC＝BD，则四边形EGFH的形状
是________；
(4)如图④，在(3)的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的
形状，并说明理由．
菱形
菱形本章总结提升
解：(1)四边形EGFH是平行四边形．
理由：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴点O是▱ABCD的对称中心，∴EO＝FO，GO＝HO，∴四边形EGFH是平行四边形．
(4)四边形EGFH是正方形．
理由：∵AC＝BD，∴▱ABCD是矩形．
又∵AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，
∴▱ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；
∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°，∴∠BOG＝∠COF，∴△BOG≌△COF，∴OG＝OF，
∴GH＝EF.由(1)知四边形EGFH是平行四边形，
又∵EF⊥GH，EF＝GH，∴四边形EGFH是正方形．本章总结提升
【归纳总结】 判定正方形的一般思路问题4 有关中点、中位线的问题
本章总结提升
三角形的中位线有什么性质？它反映了线段数量的什么关系？
常见的证明线段的倍数关系有哪些方法？本章总结提升
例5 如图2－T－4，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，
BC，CD，DA的中点．
(1)请判断四边形EFGH的形状，并说明理由；
(2)若使四边形EFGH为正方形，则四边形ABCD的对角线应具有
怎样的关系？
图2－T－4本章总结提升
[解析] (1)由三角形中位线的性质可得四边形EFGH为平行四边形；(2)
对角线互相垂直的四边形的中点四边形为矩形，对角线相等的四边形的
中点四边形为菱形，要使四边形EFGH为正方形，根据正方形的判定定理，
知四边形ABCD的对角线应相等且互相垂直．本章总结提升本章总结提升
【归纳总结】 中点四边形的类型
条件 图形
任意四边形的中点四边形 平行四边形
对角线相等的四边形的中点四边形 菱形
对角线互相垂直的四边形的中点四边形 矩形
对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边
形 正方形
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