1
专题训练(四) 确定一次函数表达式的六种方法
► 方法一 根据一次函数的定义确定
1．已知关于 x 的函数 y＝(2m－1)x＋1－3m.
(1)当 m 为何值时，这个函数为正比例函数？
(2)当 m 为何值时，这个函数为一次函数？
2．已知 y＝(m－1)xm2－3＋2 是关于 x 的一次函数，并且 y 的值随 x 值的增大而减小，
求此一次函数的表达式．
► 方法二 根据一次函数的性质确定
3．某一次函数的图象过点(－1，2)，且函数 y 的值随自变量 x 值的增大而减小，请写
出符合上述条件的一个函数表达式：____________．
4．已知一次函数 y＝(1－2m)x＋m－2，若函数值 y 随 x 值的增大而减小，并且函数的
图象经过第二、三、四象限，m 是整数，求此一次函数的表达式．
► 方法三 根据两点坐标(两对对应值)确定
5．已知一次函数 y＝kx＋b 在 x＝3 时，y 的值为 5，在 x＝－4 时，y 的值为－9，求这
个一次函数的表达式．2
6．直线 l 与直线 y＝2x＋1 的交点的横坐标为 2，与直线 y＝－x＋2 的交点的纵坐标为
1，求直线 l 对应的函数表达式．
► 方法四 利用表格信息确定
7．根据表内数据，求变量 y 与 x 之间的函数表达式．
x 1 2 3 4 …
y 5 8 11 14 …
► 方法五 根据物理知识及生活经验确定
8．一根弹簧原长 12 厘米，它所挂物体的质量不能超过 15 千克，并且每挂 1 千克重物，
伸长
1
2厘米，写出挂重物后的弹簧的长度 y(厘米)与所挂物体质量 x(千克)之间的函数表达式．3
9．为更新果树品种，某果园计划购进 A，B 两个品种的果树苗栽植培育．若计划购进这
两种果树苗共 45 棵，其中 A 种树苗的单价为 7 元/棵，购买 B 种树苗所需费用 y(元)与购买
数量 x(棵)之间存在如图 4－ZT－1 所示的函数关系．
(1)求 y 关于 x 的函数表达式；
(2)若在购买计划中，B 种树苗的数量不超过 35 棵，但不少于 A 种树苗的数量，请设计
购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
图 4－ZT－1
► 方法六 根据图形与坐标轴围成的三角形的面积确定
10．如图 4－ZT－2，一次函数的图象经过点(
5
2，0)，且与坐标轴围成的三角形的面积
为
25
4 ，求出这个一次函数的表达式．
图 4－ZT－24
11．已知直线 y＝－x＋2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，另一直线 y＝kx＋b(k≠0)
经过点 C(1，0)，且把△AOB 分成两部分．
(1)若△AOB 被分成的两部分面积相等，求 k 和 b 的值；
(2)若△AOB 被分成的两部分的面积之比为 1∶5，求 k 和 b 的值．5
详解详析
1.解：（1）由正比例函数的定义，有 1－3m＝0 且 2m－1≠0，得 m＝
1
3，m≠
1
2，∴当 m＝
1
3时，y＝（2m－1）x＋1－3m 为正比例函数.
（2）由一次函数的定义知，当 m≠
1
2时，y＝（2m－1）x＋1－3m 为一次函数.
2.解：∵y＝（m－1）xm2－3＋2 是关于 x 的一次函数，∴m2－3＝1，且 m－1≠0，解得
m＝±2.
又∵y 的值随 x 值的增大而减小，∴m－1＜0，∴m＝－2，∴此一次函数的表达式是 y＝－
3x＋2.
3.[答案] y＝－x＋1（答案不唯一）
[解析] 因为 y 随 x 的增大而减小，所以 k＜0，不妨设 y＝－x＋b.把 x＝－1，y＝2 代
入，得 b＝1，所以函数表达式为 y＝－x＋1.
4.解：根据一次函数的性质，函数值 y 随 x 值的增大而减小，得 1－2m＜0，解得 m＞
1
2.
函数的图象经过第二、三、四象限，说明图象与 y 轴的交点在 x 轴下方，即 m－2＜0，
解得 m＜2，
所以 m 的取值范围为
1
2＜m＜2.又因为 m 是整数，所以 m＝1，故此一次函数的表达式为 y
＝－x－1.
5.解：由已知条件当 x＝3 时，y＝5，得 5＝3k＋b.
由已知条件当 x＝－4 时，y＝－9，得－9＝－4k＋b，联立解得 k＝2，b＝－1，
故这个一次函数的表达式为 y＝2x－1.
6.解：设直线 l 与直线 y＝2x＋1 的交点为 A，与直线 y＝－x＋2 的交点为 B.
把 x＝2 代入 y＝2x＋1，得 y＝5，即点 A 的坐标为（2，5）；把 y＝1 代入 y＝－x＋2，
得 x＝1，即点 B 的坐标为（1，1）.
设直线 l 对应的函数表达式为 y＝kx＋b（k≠0）.把 A，B 两点的坐标代入，得
{2k＋b＝5，
k＋b＝1， 解得{k＝4，
b＝－3，
∴直线 l 对应的函数表达式为 y＝4x－3.
7.解：由表内数据可知，变量 y 是随变量 x 均匀变化的，所以 y 是 x 的一次函数，设 y
＝kx＋b（k≠0），把 x＝1，y＝5，x＝2，y＝8 分别代入，得
{k＋b＝5，
2k＋b＝8，解得{k＝3，
b＝2，
所以 y＝3x＋2.
当 x＝3 时，y＝11；
当 x＝4 时，y＝14，与表格信息相符，
所以 y 与 x 之间的函数表达式为 y＝3x＋2.
8.解：y＝
1
2x＋12（0≤x≤15）.
9.解：（1）当 0≤x＜20 时，
∵图象经过点（0，0）和（20，160），6
∴设 y＝k1x（k1≠0），把（20，160）代入，得 160＝20k1，解得 k1＝8；
当 x≥20 时，设 y＝k2x＋b（k2≠0），
把（20，160）和（40，288）代入，得{20k2＋b＝160，
40k2＋b＝288，
解得{k2＝6.4，
b＝32，
∴y 关于 x 的函数表达式是 y＝{8x（0 ≤ x < 20），
6.4x＋32（x ≥ 20），其中 x 为整数.
（2）依题意得{x ≤ 35，
x ≥ 45－x，
解得 22.5≤x≤35，
此时 y＝6.4x＋32.设总费用为 z 元.
依题意得 z＝y＋7（45－x）＝－0.6x＋347.
∵－0.6＜0，
∴z 随 x 的增大而减小.
∵22.5≤x≤35，且 x 为整数，
∴当 x＝35 时，z 最小，此时 z＝－0.6×35＋347＝326，45－x＝10，
∴当购买 A 种树苗 10 棵，B 种树苗 35 棵时，总费用最低，最低费用为 326 元.
10.解：设一次函数的图象与 y 轴的交点为（0，m）.
由已知得
1
2·
5
2·m＝
25
4 ，
解得 m＝5，
即一次函数的图象过点（
5
2，0），（0，5）.
设一次函数的表达式为 y＝kx＋b（k≠0），则{5
2k＋b＝0，
b＝5，
解得{k＝－2，
b＝5，
∴一次函数的表达式为 y＝－2x＋5.
11.解：（1）根据题意，得 A（2，0），B（0，2），如图①.
由题意易知直线 y＝kx＋b 经过点 C（1，0），B（0，2），
代入得{k＋b＝0，
b＝2，
解得{k＝－2，
b＝2.
（2）如图②，设直线 y＝kx＋b 与 OB 交于点 M（0，h），
由题意，得 S△AOB＝2，S△OMC＝
1
6S△AOB，7
∴S△OMC＝
1
3，∴h＝
2
3.
经过点 M 作直线 MN∥OA，交 AB 于点 N，
则 S△OMC＝S△CAN.
设 N（a，
2
3），
∵N（a，
2
3）在直线 y＝－x＋2 上，
∴a＝
4
3，∴N（
4
3，
2
3）.
∵直线 y＝kx＋b 经过 M（0，
2
3），C（1，0）或经过 N（
4
3，
2
3），C（1，0），
∴{b＝
2
3，
k＋b＝0，
或{4
3k＋b＝
2
3，
k＋b＝0，
解得{k＝－
2
3，
b＝
2
3
或{k＝2，
b＝－2.
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