专题训练(三) 中点问题常用思路
在解答几何问题时会遇到不少中点问题，解答这类问题通常考虑运用以下四类方法解答：
(1)根据等腰三角形“三线合一”解答；
(2)根据线段垂直平分线的性质解答；
(3)根据直角三角形斜边上中线的性质解答；
(4)构造三角形中位线解答．
► 类型一 与等腰三角形有关的中点问题
1．如图3－ZT－1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝12，CD＝AC＝16，M，N分别是对角线BD，AC的中点．
(1)求证：MN⊥AC；
(2)求MN的长．
图3－ZT－1
► 类型二 与垂直平分线有关的中点问题
2．如图3－ZT－2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，如果AB＝AC，求证：BM＝MN＝NC.
图3－ZT－2
► 类型三 与直角三角形斜边上的中线有关的中点问题
3．如图3－ZT－3①，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．
(1)求证：MN⊥DE.
(2)连接DM，ME，求证：∠DME＝180°－2∠A.
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(3)若将锐角三角形ABC变为钝角三角形ABC，如图②，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，直接写出正确的结论．
图3－ZT－3
► 类型四 与三角形中位线有关的中点问题
4．如图3－ZT－4，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，M，N分别是对角线BD，AC的中点，试探索MN与AD，BC的位置关系与数量关系，并说明理由．
图3－ZT－4
5．2018·白银 如图3－ZT－5，已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
(1)求证：△BGF≌△FHC；
(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
图3－ZT－5
6．已知M为△ABC的边BC的中点，AB＝12，AC＝18，BD⊥AD于点D，连接DM.
(1)如图3－ZT－6①，若AD为∠BAC的平分线，求MD的长；
(2)如图3－ZT－6②，若AD为∠BAC的外角平分线，求MD的长．
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图3－ZT－6
7．如图3－ZT－7①，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别相交于点M，N.
(1)试说明：FG＝(AB＋BC＋AC)；
(2)如图②，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线，则线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由；
(3)如图③，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，则线段FG与△ABC三边的数量关系是______________．
图3－ZT－7
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详解详析
专题训练(三) 中点问题常用思路
1．解：(1)证明：如图，连接AM，CM，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，M是BD的中点，
∴AM＝CM＝BM＝DM＝BD.
又∵N是AC的中点，∴MN⊥AC.
(2)∵∠BCD＝90°，BC＝12，CD＝16，
∴BD＝＝20，
∴AM＝BD＝×20＝10.
∵AC＝16，N是AC的中点，
∴AN＝×16＝8，∴MN＝＝6.
2．证明：如图，连接AM，AN.
∵AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，
∴BM＝AM，NC＝AN，
∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C.
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠MAB＋∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN＝MN，
∴BM＝MN＝NC.
3．解：(1)证明：如图①，连接DM，ME.
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∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME.
又∵N为DE的中点，∴MN⊥DE.
(2)证明：由(1)知DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD＋∠CME
＝(180°－2∠ABC)＋(180°－2∠ACB)
＝360°－2(∠ABC＋∠ACB)
＝360°－2(180°－∠A)
＝2∠A，
∴∠DME＝180°－2∠A.
(3)(1)中的结论成立；(2)中的结论不成立．
理由如下：如图②，连接DM，ME.在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC.
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC
＝2(180°－∠BAC)
＝360°－2∠BAC，
∴∠DME＝180°－(360°－2∠BAC)
＝2∠BAC－180°.
4．解：MN∥AD∥BC，MN＝(BC－AD)．
理由如下：连接AM并延长交BC于点H，如图所示．
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠HBD.
在△AMD和△HMB中，
∴△AMD≌△HMB，∴AM＝MH，AD＝BH.
∵AM＝MH，AN＝NC，
∴MN∥HC，MN＝HC，
∴MN∥BC∥AD，MN＝(BC－AD)．
5．解：(1)证明：∵F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，
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∴FH∥BE，FH＝BE＝BG，
∴∠CFH＝∠CBG.
又∵BF＝CF，∴△BGF≌△FHC.
(2)连接EF，GH.当四边形EGFH是正方形时，可得EF⊥GH且EF＝GH.
∵在△BEC中，G，H分别是BE，CE的中点，
∴GH＝BC＝AD＝a，且GH∥BC，
∴EF⊥BC.
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AB＝EF＝GH＝a，
∴矩形ABCD的面积＝AB·AD＝a·a＝a2.
6．解：(1)如图①，延长BD交AC于点E，
∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD，
∴BD＝DE，AE＝AB＝12，
∴CE＝AC－AE＝18－12＝6.
又∵M为△ABC的边BC的中点，
∴MD是△BCE的中位线，
∴MD＝CE＝×6＝3.
(2)如图②，延长BD交CA的延长线于点E，
∵AD为∠BAE的平分线，BD⊥AD，
∴BD＝DE，AE＝AB＝12，
∴CE＝AC＋AE＝18＋12＝30.
又∵M为△ABC的边BC的中点，
∴MD是△BCE的中位线，
∴MD＝CE＝×30＝15.
7．解：(1)∵BD⊥AF，
∴∠AFB＝∠MFB＝90°.
在△ABF和△MBF中，
∴△ABF≌△MBF，
∴MB＝AB，AF＝MF.
同理：CN＝AC，AG＝NG，
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∴FG是△AMN的中位线，
∴FG＝MN
＝(MB＋BC＋CN)
＝(AB＋BC＋AC)．
(2)FG＝(AB＋AC－BC)．
理由：如图①，延长AF，AG，与直线BC分别相交于点M，N，
∵AF⊥BD，
∴∠AFB＝∠MFB＝90°.
在△ABF和△MBF中，
∴△ABF≌△MBF，
∴MB＝AB，AF＝MF.
同理：CN＝AC，AG＝NG，
∴FG＝MN
＝(MB＋CN－BC)
＝(AB＋AC－BC)．
(3)FG＝(AC＋BC－AB)．
理由：如图②，延长AF，AG，与直线BC分别相交于点M，N.
∵AF⊥BD，
∴∠AFB＝∠MFB＝90°.
在△ABF和△MBF中，
∴△ABF≌△MBF，
∴MB＝AB，AF＝MF.
同理：CN＝AC，AG＝NG，
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∴FG＝MN
＝(CN＋BC－MB)
＝(AC＋BC－AB)．
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