课时作业(二十)
[9.4 第5课时 正方形的性质与判定]
一、选择题
1．下列条件中，不能判定一个平行四边形是正方形的是( )
A．对角线相等且互相垂直
B．一组邻边相等且有一个角是直角
C．对角线相等且有一组邻边相等
D．对角线互相平分且有一个角是直角
2．如图K－20－1，在▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠D的度数是( )
A．65° B．55°
C．70° D．75°
图K－20－1
图K－20－2
3．如图K－20－2，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为( )
A．2 B. C. D．1
二、填空题
4．如图K－20－3，已知正方形ABCD，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，则AE的长为________．
图K－20－3
图K－20－4
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5．已知：如图K－20－4，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED＝________°.
6．2016·南京 如图K－20－5，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形ABCD的边长为________cm.
图K－20－5
图K－20－6
7．如图K－20－6，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一个动点，则DN＋MN的最小值为________．
三、解答题
8．2018·吉林 如图K－20－7，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF，求证：△ABE≌△BCF.
图K－20－7
9．如图K－20－8，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF.
求证：CE＝DF.
图K－20－8
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10．2018·盐城 在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF，如图K－20－9所示．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
图K－20－9
11．如图K－20－10，在正方形ABCD中，点E(与点B，C不重合)是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF的位置，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF.
(1)求证：△ABE≌△EGF；
(2)若AB＝2，S△ABE＝2S△ECF，求BE的长．
图K－20－10
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探究题 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.
(1)观察猜想：
如图K－20－11①，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为________；
②BC，CD，CF之间的数量关系为________．(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考：
如图②，当点D在线段CB的延长线上时，(1)中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论，再给予证明．
(3)拓展延伸：
如图③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB＝2 ，CD＝BC，请求出GE的长．
图K－20－11
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详解详析
课时作业(二十)
[9.4 第5课时 正方形的性质与判定]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] D A．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故本选项错误；B.一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，故本选项错误；C.对角线相等且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，故本选项错误；D.对角线互相平分且有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项正确．故选D.
2．[解析] A ∵四边形AEFG是正方形，∴∠AEF＝90°.∵∠CEF＝15°，∴∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝90°＋15°＝105°，∴∠B＝∠AEC－∠BAE＝105°－40°＝65°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝65°.故选A.
3．[答案] B
4．[答案]
[解析] ∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠D＝90°.
∵DE＝2，EC＝1，∴AD＝DC＝2＋1＝3.
在Rt△ADE中，∵∠D＝90°，AD＝3，DE＝2，
∴AE＝＝＝.
5．[答案] 45
[解析] 由题意，得AB＝AD＝AE，∠BAD＝90°，∠DAE＝∠AED＝60°，所以∠BAE＝150°，所以∠AEB＝15°，所以∠BED＝∠AED－∠AEB＝60°－15°＝45°.
6．[答案] 13
[解析] 如图，连接AC和BD交于点O，由题意可知，B，E，F，D四点都在菱形ABCD的对角线BD上，设AC＝2a cm，BD＝2b cm，根据菱形与正方形的面积计算公式，可得·(2a)2＝ 50，解得a＝5(负值已舍去)，且·2a·2b＝120，解得b＝12，所以AB＝＝＝13(cm)．故答案为13.
7．[答案] 10
[解析] 利用正方形的轴对称性，点B，D关于直线AC对称，连接BM交AC于点N，N就是所求的点，它使DN＋MN最小．在Rt△MBC中，BM＝DN＋MN＝＝＝10.
8．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF.
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9．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°.
又∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF.
在△CEB和△DFC中，
∴△CEB≌△DFC，∴CE＝DF.
10．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABE＝∠ADF.
在△ABE与△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
(2)四边形AECF是菱形．
理由：连接AC交BD于点O，如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，
∴OB＋BE＝OD＋DF，即OE＝OF.
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．
11．解：(1)证明：∵线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF的位置，
∴EF＝AE，EF⊥AE，
∴∠FEG＋∠AEB＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，∴∠EAB＋∠AEB＝90°，
∴∠EAB＝∠FEG.
∵过点F作BC的垂线FG，
∴∠G＝90°，∴∠B＝∠G.
在△ABE和△EGF中，
∴△ABE≌△EGF.
(2)由(1)知△ABE≌△EGF，
∴S△ABE＝S△EGF，AB＝EG＝2.
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∵S△ABE＝2S△ECF，∴S△EGF＝2S△ECF，
∴S△CGF＝S△ECF.
∵△CGF和△ECF的底边CG，EC上的高均是FG，
∴EC＝CG＝EG＝1，
∴BE＝BC－EC＝AB－EC＝1.
故BE的长是1.
[素养提升]
解：(1)①在正方形ADEF中，AD＝AF.
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF.
在△DAB与△FAC中，
∴△DAB≌△FAC，∴∠ABD＝∠ACF，
∴∠ACB＋∠ACF＝∠ACB＋∠ABD＝90°，
即CF⊥BC.故答案为垂直．
②由①知△DAB≌△FAC，
∴BD＝CF.
∵BC＝BD＋CD，∴BC＝CF＋CD.
故答案为BC＝CF＋CD.
(2)当点D在线段CB的延长线上时，(1)中的结论①仍然成立，结论②不成立，正确结论：BC＝CD－CF.
证明：∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°.
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF.
在△DAB与△FAC中，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠ABD＝∠ACF，BD＝CF.
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ACF＝∠ABD＝180°－∠ABC＝135°，
∴∠DCF＝∠ACF－∠ACB＝90°，
∴CF⊥BC.
∵BC＝CD－BD，∴BC＝CD－CF.
综上所述，BC⊥CF且BC＝CD－CF.
(3)如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点E分别作EM⊥BD于点M，EN⊥CF于点N.
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∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AB＝2 ，
∴BC＝4，AH＝BC＝2.
∵CD＝BC＝1，CH＝BC＝2，
∴DH＝3.
由(2)证得BC⊥CF，CF＝BD＝5.
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°.
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴EN＝CM，EM＝CN.
∵∠AHD＝∠ADE＝∠DME＝90°，
∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°，
∴∠ADH＝∠DEM.
在△ADH与△DEM中，
∴△ADH≌△DEM，
∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，
∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3.
∵∠ABC＝45°，∠BCF＝90°，
∴∠BGC＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG＝BC＝4，∴GN＝1，
∴GE＝＝.
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