课时作业(十八)
[9.4 第3课时 菱形及其性质]
一、选择题
1．2018·荆州 菱形不具备的性质是( )
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
2．在菱形ABCD中，AB＝5 cm，则此菱形的周长为( )
A．5 cm B．15 cm C．20 cm D．25 cm
3．在菱形ABCD中，AB＝3，∠B＝60°，则对角线AC的长为( )
A．12 B．9 C．6 D．3
4．如图K－18－1所示，将一个长为10 cm，宽为8 cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( )
图K－18－1
A．10 cm2 B．20 cm2 C．40 cm2 D．80 cm2
5．如图K－18－2，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，则∠EAF等于( )
A．75° B．45° C．60° D．30°
图K－18－2
图K－18－3
6．如图K－18－3所示，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )
A．4 B. C. D．5
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图K－18－4
二、填空题
7．如图K－18－4，菱形ABCD的对角线AC＝24，BD＝10，则菱形的周长l＝________．
8．2018·吉林一模 如图K－18－5，四边形ABCD是菱形，点A，B，C，D的坐标分别是(m，0)，(0，n)，(1，0)，(0，2)，则mn＝________．
9．在菱形ABCD中，AE为BC边上的高，若AB＝5，AE＝4，则线段CE的长为________．
图K－18－5
图K－18－6
10．如图K－18－6所示，菱形ABCD的对角线BD，AC的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点(不与点A，C重合)，且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是________．
三、解答题
11．2017·自贡 如图K－18－7，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF.
求证：∠ABF＝∠CBE.
图K－18－7
12．如图K－18－8，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.
求证：OE＝BC.
7
图K－18－8
13．2017·沈阳 如图K－18－9，在菱形ABCD中，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF.
求证：(1)△ADE≌△CDF；
(2)∠BEF＝∠BFE.
图K－18－9
14．已知：如图K－18－10，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？请说明理由．
图K－18－10
15．2018·无锡校级月考 在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图K－18－11①，若点E在边BC上，且E为BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
7
(2)如图K－18－11②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
图K－18－11
操作题 用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，如果使三角尺60°角的顶点与点A重合，60°角的两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．
(1)当三角尺的两边分别与菱形的边BC，CD相交于点E，F时，如图K－18－12①，通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？证明你的结论．
(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时(如图②)，你在(1)中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
图K－18－12
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详解详析
课时作业(十八)
[9.4 第3课时 菱形及其性质]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B 菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线互相垂直但不一定相等，故选B.
2．[解析] C 因为在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，AB＝5 cm，所以菱形的周长为4AB＝20 cm.故选C.
3．[答案] D
4．[解析] A 所剪菱形的对角线长分别为4 cm，5 cm，故面积为×4×5＝10(cm2)．
5．[解析] C 连接AC，∵AE⊥BC，AF⊥CD，且E，F分别为BC，CD的中点，∴AB＝AC，AD＝AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴AB＝BC＝AC，AC＝CD＝AD，∴∠B＝∠D＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝30°，∠BAD＝180°－∠B＝120°，∴∠EAF＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝60°.故选C.
6．[解析] C 连接BD交AC于点O，则OA＝AC＝3，∴BO＝＝4.∵S△ABC＝AC·BO＝BC·AE，∴AE＝.
7．[答案] 52
[解析] 菱形ABCD的对角线AC＝24，BD＝10，则菱形的边长为＝13，故菱形的周长l＝13×4＝52.
8．[答案] 2
[解析] ∵四边形ABCD是菱形，点A，B，C，D的坐标分别是(m，0)，(0，n)，(1，0)，(0，2)，
∴m＝－1，n＝－2，∴mn＝2.
9．[答案] 2或8
[解析] 当点E在CB的延长线上时，如图①所示．∵AB＝5，AE＝4，∴BE＝3，∴CE＝BC＋BE＝8；
当点E在BC边上时，如图②所示．∵AB＝5，AE＝4，∴BE＝3，∴CE＝BC－BE＝2.
综上可知：CE的长是2或8.
10．[答案] 2.5
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[解析] 由题意知四边形AEPF为平行四边形，
所以S△AEF＝S△FEP，所以S阴影＝S△ABC.
因为菱形ABCD的对角线长分别为2和5，
所以S菱形ABCD＝×2×5＝5，
所以S阴影＝S△ABC＝×5＝2.5.
11．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB.
在△AFB和△CEB中，
∴△AFB≌△CEB，∴∠ABF＝∠CBE.
12．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE＝CD，∴OE＝BC.
13．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，∴△ADE≌△CDF.
(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，∴AB－AE＝BC－CF，即BE＝BF，∴∠BEF＝∠BFE.
14．解：(1)证明：连接AC.
∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD垂直平分AC，∴AE＝EC.
(2)F是线段BC的中点．
理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC.
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC.
∵AE＝EC，∠CEF＝60°，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴AF是△ABC的角平分线．
∵AB＝AC，
∴AF是△ABC中BC边上的中线，
∴F是线段BC的中点．
15．证明：(1)连接AC.
∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°，
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∴△ABC是等边三角形．
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC.
∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°，
∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠ECF＝180°－30°－120°＝30°，
∴∠FEC＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴BE＝DF.
(2)连接AC.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠B＝∠ACF＝60°.
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF＋∠FAD＝60°＋∠FAD.
在菱形ABCD中，∠D＝∠B＝60°，
∴∠AFC＝∠D＋∠FAD＝60°＋∠FAD，
∴∠AEB＝∠AFC.
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF(AAS)，
∴AE＝AF.
又∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
[素养提升]
解：(1)结论：BE＝CF.
证明：∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC，
即∠BAE＝∠CAF.
又∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACF＝60°，
∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF.
(2)成立．
理由：∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAC＋∠EAC＝∠EAF＋∠EAC，
即∠BAE＝∠CAF.
又∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACF＝60°，
∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF.
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