课时作业(十五)
[9.3 第3课时 从对角线的关系判定平行四边形]
一、选择题
1．在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB＝DC，AD＝BC
D．AB∥DC，AD＝BC
2．已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，则下列结论不一定成立的是( )
A．AB＝AC B．AB∥CD
C．∠BAD＝∠BCD D．AD＝BC
3．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
二、填空题
4．如图K－15－1，AC，BD是相交的两条线段，O为它们的中点．当BD绕点O旋转时(AC，BD不重合)，连接AB，BC，CD，DA所得到的四边形ABCD始终为______________．
图K－15－1
图K－15－2
5．2018·长春南关区校级月考 如图K－15－2，OA＝OC，BD＝16 cm，则当OB＝________cm时，四边形ABCD是平行四边形．
图K－15－3
6．如图K－15－3，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，现在请你添加一个适当的条件：________，使得四边形AECF为平行四边形(图中不再添加点和线)．
7．用反证法证明“四边形的四个内角不能都是锐角”时，应首先假设__________________．
三、解答题
8．如图K－15－4，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.
求证：四边形AECF是平行四边形．
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图K－15－4
9．如图K－15－5，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AE＝CF，BG＝DH.则EH与GF平行吗？证明你的结论．
图K－15－5
10．如图K－15－6，已知E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF，BE＝DF，BE∥DF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
图K－15－6
11．2017·西宁 如图K－15－7，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．
图K－15－7
12．如图K－15－8，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF过点O分别交BC，AD于点E，F，G，H分别为OB，OD的中点，四边形GEHF是平行四边形吗？为什么？
6
图K－15－8
13．如图K－15－9，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上．
(1)给出以下条件：①OB＝OD，②∠1＝∠2，③OE＝OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；
(2)在(1)中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
图K－15－9
平行四边形综合探究题 如图K－15－10，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
(2)若去掉已知条件中的“∠DAB＝60°”，上述结论还成立吗？若成立，请写出推理过程；若不成立，请说明理由．
图K－15－10
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详解详析
课时作业(十五)
[9.3 第3课时 从对角线的关系判定平行四边形]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] D
2．[解析] A 先由对角线互相平分可以得出四边形ABCD是平行四边形，再由其性质可得选项B，C，D正确．
3．[解析] B ①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①③组合可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④组合可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形．
4．[答案] 平行四边形
[解析] 因为OA＝OC，OB＝OD，所以四边形ABCD是平行四边形．
5．[答案] 8
[解析] 当OB＝8 cm时，四边形ABCD是平行四边形．理由如下：
∵BD＝16 cm，OB＝8 cm，∴OB＝OD.
又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为8.
6．[答案] 答案不唯一，如BE＝DF
7．[答案] 四边形的四个内角都是锐角
8．[解析] 由四边形ABCD是平行四边形，可得OD＝OB，OA＝OC.要想说明四边形AECF是平行四边形，只需证得OF＝OE即可．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO，
∴△FDO≌△EBO，∴OF＝OE.
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
9．解：EH与GF平行．
证明：连接EG，FH.
在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD.
又∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
又∵BG＝DH，
∴OB－BG＝OD－DH，即OG＝OH，
∴四边形EGFH为平行四边形，
∴EH∥GF.
10．[解析] 本题可通过三角形全等说明四边形ABCD的一组对边平行且相等，从而说明其是平行四边形，还可通过对角线互相平分判别其是平行四边形．
证明：连接DE，BF，BD，设BD交AC于点O.
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∵BE＝DF，BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴OB＝OD，OE＝OF.
∵AE＝CF，
∴AE＋OE＝CF＋OF，
即OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
11．解：(1)证明：∵O是AC的中点，
∴OA＝OC.
∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO.
在△AOD和△COB中，
∵∠ADO＝∠CBO，∠AOD＝∠COB，OA＝OC，
∴△AOD≌△COB，
∴OD＝OB.
又OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD的面积＝△CAD的面积＋△ABC的面积＝AC·OD＋AC·OB＝AC·BD＝24.
12．[解析] 由平行四边形的性质可知OB＝OD，AD∥BC，可得出△BOE≌△DOF，所以OE＝OF.
又因为OG＝OH，所以四边形GEHF的对角线互相平分，即可得出结论．
解：四边形GEHF是平行四边形．
理由：在▱ABCD中，OB＝OD，AD∥BC，
∴∠DBC＝∠BDA.
又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF，
∴OE＝OF.
又∵OG＝OB，OH＝OD，
∴OG＝OH，
∴四边形GEHF是平行四边形．
[点评] 本题图中已有四边形GEHF的对角线，故首先分析对角线的关系．
13．解：(1)若选①和②，
证明：在△BEO和△DFO中，
∵∠1＝∠2，OB＝OD，∠BOE＝∠DOF，
∴△BEO≌△DFO(ASA)；
若选①和③，
证明：在△BEO和△DFO中，
∵OB＝OD，∠BOE＝∠DOF，OE＝OF，
∴△BEO≌△DFO(SAS)；
若选②和③，
证明：在△BEO和△DFO中，
∵∠1＝∠2，∠BOE＝∠DOF，OE＝OF，
∴△BEO≌△DFO(AAS)．
(2)若选①和②，
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证明：由(1)知△BEO≌△DFO，
∴OE＝OF.
∵AE＝CF，∴OA＝OC.
∵OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；
若选①和③，证明：∵AE＝CF，OE＝OF，
∴OA＝OC.
∵OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；
若选②和③，
证明：由(1)知△BEO≌△DFO，∴OB＝OD.
∵AE＝CF，OE＝OF，∴OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
[素养提升]
[解析] (1)见到60°角首先想到等边三角形，很容易发现△ADE与△BCF是等边三角形，再推出CE＝AF，AE＝CF或CE∥AF.即可证四边形AFCE是平行四边形．(2)比较分析可得DE＝BF，AE＝CF.
解：(1)证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AD＝CB且AB∥CD，AD∥CB，
∴∠ADE＝∠DAB＝∠CBF＝60°.
∵AE＝AD，CF＝CB，
∴△ADE，△BCF都是等边三角形，
∴DE＝AE＝AD＝CB＝CF＝BF.
∵点E，F分别在CD，AB的延长线上，
∴CD＋DE＝AB＋BF，即CE＝AF.
又∵AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
(2)若去掉已知条件中的“∠DAB＝60°”，上述结论仍然成立．
推理过程如下：
在▱ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，且AB∥CD，AD∥CB.
∵AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，且∠ADE＝∠AED，∠CBF＝∠CFB.
∵AB∥CD，AD∥CB，
∴∠AED＝∠ADE＝∠DAB＝∠CBF＝∠CFB，
∴△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF.
∵点E，F分别在CD，AB的延长线上，
∴CD＋DE＝AB＋BF，即CE＝AF.
又∵AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
[点评] 一题多问中，当图形、条件部分发生了变化时，要积极从上一问中发现对下一问有指导性的思路，比较异同，寻求突破．
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