课时作业(十六)
[9.4 第1课时 矩形及其性质]
一、选择题
1．如图K－16－1，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，则OD的长为( )
A. B．5
C．8 D．10
图K－16－1
图K－16－2
2．如图K－16－2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝5，CD＝6，则BC的长是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图K－16－3所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
图K－16－3
图K－16－4
4．2017·衢州 如图K－16－4，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于( )
A. B. C. D.
7
图K－16－5
5．如图K－16－5，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )
A．4.8 B．5
C．6 D．7.2
二、填空题
6．2017·辽阳 如图K－16－6，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE.若BC＝7，AE＝4，则CE＝________．
图K－16－6
图K－16－7
7．如图K－16－7，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________°.
8．如图K－16－8，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5.以点B为圆心，BC长为半径作圆弧，与边AD交于点E，则DE的长为________．
图K－16－8
图K－16－9
9．2017·徐州 如图K－16－9，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP的长为________．
三、解答题
10．已知：如图K－16－10，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.
7
图K－16－10
11．如图K－16－11，在矩形ABCD中，过点B作BE∥AC交DA的延长线于点E，求证：BE＝BD.
图K－16－11
12．2018·连云港 如图K－16－12，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
图K－16－12
7
动点探究题 如图K－16－13，E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，AB＝3，BC＝4，P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R.
(1)如图(a)，当P为线段EC的中点时，易得PR＋PQ＝________(不需证明)．
(2)如图(b)，当P为线段EC上的任意一点(不与点E，C重合)时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图(c)，当P为线段EC延长线上的任意一点时，其他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
图K－16－13
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详解详析
课时作业(十六)
[9.4 第1课时 矩形及其性质]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B ∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，∴BD＝AC＝10，则OD＝OB＝5.故选B.
2．[解析] C ∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝OA，AB＝CD＝6.
又∵OA＝5，∴AC＝2OA＝10.
根据勾股定理可得：BC＝＝8.
故选C.
3．[答案] B
4．[解析] B 由折叠的性质可得∠BCA＝∠ECA.又∵AD∥BC，∴∠FAC＝∠BCA，∴∠FAC＝∠ECA，∴AF＝CF.设DF＝x，则CF＝AF＝6－x，在Rt△CDF中，由勾股定理，得x2＋42＝(6－x)2，解得x＝.
5．[解析] A 如图，连接OP，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F.
∵矩形的两条边AB，BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝48.
∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝＝10，
∴OA＝OD＝5.
∵S△ACD＝S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝S△ACD＝12.
∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA·PE＋OD·PF＝×5×PE＋×5×PF＝(PE＋PF)＝12，
∴PE＋PF＝4.8.
6．[答案] 5
[解析] ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC＝7，∠D＝90°，
∴∠AEB＝∠EBC.∵∠ABE＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE＝CD＝4.
∵AD＝7，AE＝4，∴DE＝AD－AE＝7－4＝3.
在Rt△EDC中，CE＝＝＝5.
故答案为5.
7．[答案] 15
7
8．[答案] 1
[解析] 连接BE，如图所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°.
∵AB＝3，BE＝BC＝5，
∴AE＝＝4，
∴DE＝AD－AE＝BC－AE＝1.
9．[答案]
[解析] ∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，∠ADC＝90°，AD∥BC.在Rt△ACD中，AC＝＝＝5.∵AQ＝AD，AD＝3，∴AQ＝3，∴CQ＝AC－AQ＝2.∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠QPC.∵AQ＝AD，∴∠ADQ＝∠AQD.∵∠PQC＝∠AQD，∴∠PQC＝∠QPC，∴PC＝CQ＝2，∴BP＝BC－PC＝3－2＝1.在Rt△ABP中，AP＝＝＝.
10．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠EFB＋∠BEF＝90°.
∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，
∴∠EFB＋∠CFD＝90°.∴∠BEF＝∠CFD.
在△BEF和△CFD中，
∴△BEF≌△CFD(ASA)，∴BF＝CD.
11．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AD∥BC.
又∵BE∥AC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴BE＝AC，∴BE＝BD.
12．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE，∴CD＝AF.
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
(2)BC＝2CD.
理由：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°.
∵∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE.
∵E是AD的中点，∴AD＝2DE＝2CD.
∵AD＝BC，∴BC＝2CD.
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[素养提升]
解：(1)
(2)PR＋PQ＝仍然成立．
证明：如图①，连接BP，过点C作CK⊥BD于点K.
因为四边形ABCD为矩形，所以∠BCD＝90°.
又因为CD＝AB＝3，BC＝4，
所以BD＝＝＝5.
因为S△BCD＝BC·CD＝BD·CK，
所以3×4＝5CK，所以CK＝.
因为S△BCE＝BE·CK，S△BEP＝PR·BE，
S△BCP＝PQ·BC，且S△BCE＝S△BEP＋S△BCP，
所以BE·CK＝PR·BE＋PQ·BC.
又因为BE＝BC，所以CK＝PR＋PQ，
所以CK＝PR＋PQ.
因为CK＝，所以PR＋PQ＝.
图① 图②
(3)图(c)中的结论是PR－PQ＝.(根据图②可计算)
[点评] (1)探究线段之间的关系一般可以先分析特殊位置时的情况，比如本例先取EC的中点P.
(2)通过面积分析来研究动点问题是重要的策略．
(3)后面一问一般在与前一问的对比中发现解题思路．
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