课时作业(二十一)
[9.5 三角形的中位线]
一、选择题
1．2018·泸县模拟 如图K－21－1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC＝6，则DE的长为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
图K－21－1
图K－21－2
2．2017·张家界 如图K－21－2，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是( )
A．6 B．12 C．18 D．24
3．如图K－21－3，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
图K－21－3
图K－21－4
4．如图K－21－4，杨伯伯家小院子里的四棵小树E，F，G，H刚好在其四边形院子ABCD各边的中点处．若在四边形EFGH内种上小草，则这块草地的形状是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
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图K－21－5
5．如图K－21－5，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝66°，则∠FEG的度数为( )
A．47° B．46°
C．41° D．23°
二、填空题
6．2017·淮安 如图K－21－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，F是AD的中点．若AB＝8，则EF＝________．
图K－21－6
图K－21－7
7．2016·扬州 如图K－21－7所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为________．
图K－21－8
8．如图K－21－8，△ABC是等边三角形，CF⊥AB，E是AD的中点，EF＝3.5 cm，则BD＝________．
三、解答题
9．如图K－21－9，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，△ABC的角平分线AG交DE于点F，若∠ABC＝70°，∠BAC＝54°，求∠AFD的度数．
图K－21－9
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10.2018·南京江宁区期中 如图K－21－10，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F，G，H分别为AD，BC，BD，AC的中点，顺次连接点E，G，F，H.求证：四边形EGFH是菱形．
图K－21－10
11．如图K－21－11，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM，DN，MN.若AB＝6，求DN的长．
图K－21－11
12．如图K－21－12，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为边AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F.
(1)求证：四边形ECBF是平行四边形；
(2)当∠A＝30°时，求证：四边形ECBF是菱形．
图K－21－12
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阅读理解题 阅读下面材料：
在数学课上老师请同学们思考如下问题：如图K－21－13(a)，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.
结合小敏的思路作答：
(1)若只改变图(a)中四边形ABCD的形状(如图(b))，则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由．
参考小敏思考问题的方法，解决下列问题：
(2)如图(b)，在(1)的条件下，若连接AC，BD.
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？直接写出结论．
图K－21－13
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详解详析
课时作业(二十一)
[9.5 三角形的中位线]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B ∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∵BC＝6，∴DE＝BC＝3.故选B.
2．[解析] B 根据题意可知，DE是△ABC的中位线，所以△ABC的周长等于△ADE的周长的2倍，因此△ABC的周长为6×2＝12.
3．[解析] A ∵D，E分别是BC，AC的中点，∴DE∥AB，∴∠BFD＝∠ABF.∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABF，∴∠BFD＝∠DBF，∴DF＝DB＝BC＝3，故选A.
4．[答案] A
5．[答案] D
6．[答案] 2
[解析] 在Rt△ABC中，∵AD＝BD，∴CD＝AB＝4.∵AF＝DF，AE＝EC，∴EF＝CD＝2.
7．[答案] 24
8．[答案] 7 cm
[解析] 由等边三角形的性质可知F为AB的中点，可得EF为△ABD的中位线，所以BD＝2EF＝7 cm.
9．解：∵∠BAC＝54°，AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠BAC＝27°，
∴∠BGA＝180°－∠ABC－∠BAG＝83°.
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，∴∠AFD＝∠BGA＝83°.
10．证明：∵E，F，G，H分别为AD，BC，BD，AC的中点，
∴EG＝AB，EH＝CD，HF＝AB，
EG∥AB，HF∥AB，
∴EG＝HF，EG∥HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
∵AB＝CD，∴EG＝EH，
∴四边形EGFH是菱形．
11．解：连接CM，如图所示．
∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，
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∴CM＝AB＝3.
∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN＝BC，MN∥BC，即MN∥CD.
又∵CD＝BD，∴MN＝CD，
∴四边形NDCM是平行四边形，
∴DN＝CM＝3.
12．证明：(1)∵D，E分别为边AC，AB的中点，
∴DE∥BC，即EF∥BC.
又∵BF∥CE，
∴四边形ECBF是平行四边形．
(2)证法一：
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，E为AB的中点，
∴BC＝AB，CE＝AB，∴BC＝CE.
又由(1)知，四边形ECBF是平行四边形，
∴四边形ECBF是菱形．
证法二：
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，E为AB的中点，
∴BC＝AB＝BE，∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，∴BC＝CE.
又由(1)知，四边形ECBF是平行四边形，
∴四边形ECBF是菱形．
证法三：
∵E为AB的中点，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴CE＝AB＝BE，∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，∴BC＝CE.
又由(1)知，四边形ECBF是平行四边形，
∴四边形ECBF是菱形．
[素养提升]
解：(1)四边形EFGH还是平行四边形．
理由如下：连接AC.
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC.
∵G，H分别是CD，AD的中点，
∴GH∥AC，GH＝AC，
∴EF∥GH，EF＝GH，
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∴四边形EFGH是平行四边形．
(2)①当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形．
理由如下：
∵F，G分别是BC，CD的中点，∴FG＝BD.
由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，且EF＝AC，
当AC＝BD时，FG＝EF，
∴四边形EFGH是菱形．
②当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．
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