课时作业(十三)
[9.3 第1课时 平行四边形的定义及其性质]
一、选择题
1．在▱ABCD中，已知∠A＋∠C＝200°，则∠A的度数是( )
A．160° B．100°
C．80° D．60°
2．如图K－13－1所示，在▱ABCD中，BC＝BD，∠C＝74°，则∠ADB的度数是( )
A．16° B．22° C．32° D．68°
图K－13－1
图K－13－2
3．如图K－13－2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.如果AC＝10，BD＝8，AB＝m，那么m的取值范围是( )
A．1＜m＜9 B．2＜m＜18
C．8＜m＜10 D．4＜m＜5
4．如图K－13－3，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是( )
A．AE＝CF B．BE＝DF
C．BF＝DE D．∠1＝∠2
图K－13－3
图K－13－4
5．2017·眉山 如图K－13－4，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )
A．14 B．13 C．12 D．10
图K－13－5
二、填空题
6．2017·连云港 如图K－13－5，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若∠EAF＝56°，则∠B＝________°.
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7．如图K－13－6所示，在▱ABCD中，已知A，B，C三点的坐标分别为A(－3，0)，B(1，0)，D(0，2)，则点C的坐标是________．
图K－13－6
图K－13－7
8．2018·泰州 如图K－13－7，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，若AD＝6，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为________．
9．如图K－13－8，在▱ABCD中，过对角线BD上的一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为E，F，G，H，则图中面积相等的平行四边形有________对．
图K－13－8
图K－13－9
10．2018·福州鼓楼区校级模拟 如图K－13－9，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C(4，0)，B(6，2)，直线y＝2x＋1向下平移________个单位长度可将平行四边形OABC的面积平分．
三、解答题
11．2017·淮安 已知：如图K－13－10，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：△ADE≌△CBF.
图K－13－10
12.2018·无锡 如图K－13－11，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE.
图K－13－11
13．2018·宿迁 如图K－13－12，在▱ABCD中，点E，F分别在边CB，AD的延长线上，
6
且BE＝DF，EF分别与AB，CD交于点G，H.求证：AG＝CH.
图K－13－12
14．已知：如图K－13－13，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE＋CD＝AD，连接CE.求证：CE平分∠BCD.
图K－13－13
15．如图K－13－14所示，已知四边形ABCD是平行四边形，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E，连接AE.
(1)求证：CD＝CE；
(2)若BE＝CE，∠B＝80°，求∠DAE的度数．
图K－13－14
等分面积操作探究题 阅读下面的操作过程，回答后面的问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A，C两点画直线AC把▱ABCD分割成两部分(如图K－13－15①)，小刚过AB，CD的中点画直线EF，把▱ABCD也分割成两部分(如图K－13－15②)．
(1)这两种分割方法中被分割成的两部分面积之间的关系为S1________S2，S3________S4；
(2)根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有________条，请在图K－13－15③的平行四边形中画出一种；
(3)由上述试验操作过程，你发现了什么规律？
图K－13－15
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详解详析
课时作业(十三)
[9.3 第1课时 平行四边形的定义及其性质]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] B
2．[解析] C 由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.由BC＝BD，∠C＝74°得∠CDB＝∠C＝74°，∴∠DBC＝180°－74°×2＝32°，∴∠ADB＝32°.
3．[解析] A ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC＝×10＝5，OB＝OD＝BD＝×8＝4.∵OA－OB＜AB＜OA＋OB，∴5－4＜m＜5＋4，∴m的取值范围是1＜m＜9.故选A.
4．[解析] A A项，当AE＝CF时，无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B项，当BE＝DF时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥BC，∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，故此选项不符合题意；
C项，当BF＝DE时，BF－EF＝DE－EF，
∴BE＝DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，故此选项不符合题意；
D项，当∠1＝∠2时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，故此选项不符合题意．故选A.
5．[解析] C 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，OA＝OC，所以∠OAE＝∠OCF.又因为∠AOE＝∠COF，所以△AOE≌△COF，所以AE＝CF，OE＝OF，而AB＝CD，AD＝BC，所以四边形EFCD的周长为DE＋CF＋CD＋EF＝AD＋CD＋EF＝×18＋2×1.5＝12.
6．[答案] 56
[解析] ∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.在四边形AECF中，∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－56°－90°－90°＝124°.在▱ABCD中，∠B＝180°－∠C＝180°－124°＝56°.
7．[答案] (4，2)
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[解析] ∵A，B两点的坐标分别为A(－3，0)，B(1，0)，∴OA＝3，OB＝1，∴AB＝3＋1＝4.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB＝4.∵点D的坐标为(0，2)，∴点C的纵坐标和点D的纵坐标相等，是2，其横坐标是4，即点C的坐标为(4，2)．
8．[答案] 14
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝6，OA＝OC，OB＝OD.∵AC＋BD＝16，∴OB＋OC＝8，∴△BOC的周长＝BC＋OB＋OC＝6＋8＝14.
9．[答案] 3
[解析] 由平行四边形的对角线分成的两个三角形面积相等可得▱AGPE与▱PFCH的面积相等；▱ABFE与▱BCHG的面积相等；▱AGHD与▱EFCD的面积相等．
10．[答案] 6
[解析] 连接AC，BO，交于点D，如图所示．当直线y＝2x＋1经过点D时，该直线可将▱OABC的面积平分．
∵四边形OABC是平行四边形，∴BD＝OD.
∵B(6，2)，O(0，0)，∴D(3，1)．
设直线y＝2x＋1平移后的直线为y＝kx＋b，
∵该直线平行于直线y＝2x＋1，∴k＝2.
∵该直线过点D(3，1)，∴y＝2x－5，
∴直线y＝2x＋1要向下平移6个单位长度可将平行四边形OABC的面积平分．
11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠ADE＝∠CBF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(AAS)．
12．证明：在▱ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠C.
∵E，F分别是边BC，AD的中点，
∴AF＝CE.
在△ABF与△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，
∴∠ABF＝∠CDE.
13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，AD∥BC，
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∴∠E＝∠F.
∵BE＝DF，∴AF＝CE.
在△AGF和△CHE中，
∴△AGF≌△CHE(ASA)，
∴AG＝CH.
14．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠E＝∠DCE.
∵BE＝AE＋AB＝AE＋CD＝AD，
∴BE＝AD＝BC，
∴∠E＝∠BCE，∴∠DCE＝∠BCE，
即CE平分∠BCD.
15．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC.
又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC，
∴∠EDC＝∠DEC，∴CD＝CE.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠B＋∠BAD＝180°.
又∵CD＝CE，BE＝CE，∴AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA.
∵∠B＝80°，∴∠BAE＝50°，
∴∠DAE＝180°－80°－50°＝50°.
[素养提升]
[解析] (1)都是相等关系，因为AC，EF都经过平行四边形的对称中心，故分得的两部分的面积相等；(2)有无数条，因为经过对称中心的直线有无数条；(3)经过平行四边形对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分．
解：(1)＝ ＝
(2)无数 答案不唯一，如图所示，所画直线经过对角线AC，BD的交点O即可．
(3)经过平行四边形对称中心的任意直线都可以把平行四边形分成面积相等的两部分．
[点评] 平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过对称中心的任意一条直线都可以将平行四边形分成完全重合的两个图形．
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