课时作业(十九)
[9.4 第4课时 菱形的判定]
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．一组对边平行的四边形是平行四边形
D．四边相等的四边形是菱形
2．如图K－19－1，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，则下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
图K－19－1
图K－19－2
3．如图K－19－2，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列四个结论中，不正确的是( )
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形
4．2017·舟山 如图K－19－3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，0)，B(1，1)．若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( )
A．先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
图K－19－3
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图K－19－4
二、填空题
5．如图K－19－4，在▱ABCD中，AB＝5，AC＝6，当BD＝________时，四边形ABCD是菱形．
图K－19－5
6．如图K－19－5，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②AB＝AC；③BF∥EC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是________(只填写序号)．
三、解答题
7．2017·宁夏 如图K－19－6，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形.
图K－19－6
8．如图K－19－7，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF，分别交AD，BC于点E和点F.
(1)求证：DE＝BF；
(2)若EF⊥BD，试判断四边形BEDF是什么特殊平行四边形，并证明你的结论．
图K－19－7
9.如图K－19－8，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.
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(1)求证：四边形OCED为菱形；
(2)连接AE，BE，则AE与BE相等吗？请说明理由．
图K－19－8
10．如图K－19－9，在▱ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形．
(2)①当AE＝________cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE＝________cm时，四边形CEDF是菱形．
图K－19－9
11．2018·南京 如图K－19－10，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.
求证：(1)∠BOD＝∠C；
(2)四边形OBCD是菱形．
图K－19－10
最值问题 将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图K－19－11所示的四边形
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ABCD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．
图K－19－11
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详解详析
课时作业(十九)
[9.4 第4课时 菱形的判定]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] D
2．[解析] A 首先根据平移的性质得出AB //CD，故四边形ABCD为平行四边形，进而利用菱形的判定定理得出答案．
3．[解析] C 由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又由∠BAC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A，B正确．如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD.又由DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠FAD＝∠ADF，∴AF＝FD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D正确．故选C.
4．[解析] D 过点B作射线BD∥OA，在射线BD上截取BC＝OA，则四边形OACB是平行四边形．过点B作BH⊥x轴于点H，∵B(1，1)，∴OB＝＝.∵A(，0)，∴C(1＋，1)，OA＝OB，∴四边形OACB是菱形，∴可以将点A先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点C，故选D.
5．[答案] 8
[解析] ∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分．∵AC＝6，∴OA＝AC＝3，∴OB＝＝＝4，∴BD＝2OB＝8.
6．[答案] ②
[解析] ∵BD＝CD，DE＝DF，∴四边形BECF是平行四边形．①BE⊥EC时，四边形BECF是矩形，不一定是菱形；②AB＝AC时，∵D是BC的中点，∴AF是BC的中垂线，∴BE＝CE，∴平行四边形BECF是菱形；③四边形BECF是平行四边形，则BF∥EC一定成立，故不一定是菱形．
7．证明：如图，由折叠的性质，得AB＝AD，BM＝DM，∠1＝∠2.
∵DM∥AB，∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AD＝DM，
∴AB＝AD＝BM＝DM，
∴四边形ABMD是菱形．
8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
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∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB，
∴△OED≌△OFB(AAS)，
∴DE＝BF.
(2)四边形BEDF是菱形．
证明：∵DE∥BF，DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
又∵EF⊥BD，
∴▱BEDF是菱形．
9．解：(1)证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形．
又∵AC，BD为矩形ABCD的对角线，
∴AC＝BD，∴OC＝OD，
∴四边形OCED为菱形．
(2)AE与BE相等．
理由：∵由(1)可知四边形OCED为菱形，
∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD.
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠ADC＝∠BCD，
∴∠EDC＋∠ADC＝∠ECD＋∠BCD，
即∠ADE＝∠BCE，∴△ADE≌△BCE(SAS)，∴AE＝BE.
10．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG.
∵G是CD的中点，∴CG＝DG.
在△FCG和△EDG中，
∴△FCG≌△EDG(ASA)，∴FG＝EG.
又∵CG＝DG，
∴四边形CEDF是平行四边形．
(2)①3.5 ②2
11．证明：(1)延长AO到点E，如图所示．
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO.
又∵∠BOE＝∠ABO＋∠BAO，
∴∠BOE＝2∠BAO，
同理∠DOE＝2∠DAO，
∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)，
即∠BOD＝2∠BAD.
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又∵∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C.
(2)连接OC.
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC，
∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO.
∵∠BOD＝∠BOC＋∠DOC，∠BCD＝∠BCO＋∠DCO，
∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD.
又∵∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，
∴OB＝BC.
又∵OB＝OD，BC＝CD，
∴OB＝BC＝CD＝OD，
∴四边形OBCD是菱形．
[素养提升]
解：(1)证明：如图(a)，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F.
∵两张矩形纸片的宽度相等，∴AE＝DF.
又∵S▱ABCD＝AE·BC＝DF·AB，
∴BC＝AB，∴▱ABCD是菱形．
(2)存在最小值和最大值．
①当∠DAB＝90°时，菱形ABCD的边长最小，为2，此时，菱形ABCD的周长最小，为8；
②当AC为矩形纸片的对角线时，此时菱形ABCD的周长最大，如图(b)．
设AB＝x，则BC＝AB＝x.在Rt△BCG中，BC2＝BG2＋CG2，即x2＝(8－x)2＋22，解得x＝.
∴菱形ABCD周长的最大值为×4＝17.
[点评] 本题中周长最大值的计算是个难点，可采用实际操作的方法，即用两张完全相同的矩形纸片，研究重叠部分的周长是怎样变化的，进而发现结论，这就是所谓的做数学，学数学，不仅是用笔画画算算，有时候也要动手操作．
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