专题训练(一) 平行四边形的性质与判定的灵活运用
► 类型一 平行四边形与全等三角形
1．用两个全等的三角形最多能拼成________个不同的平行四边形．
2．平行四边形中的一条对角线把平行四边形分成________个全等的三角形，两条对角线把平行四边形分成________对全等三角形．
3．如图1－ZT－1所示，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且BE∥DF.
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形BFDE是平行四边形．
图1－ZT－1
4．2018·温州 如图1－ZT－2，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B.
(1)求证：△AED≌△EBC；
(2)当AB＝6时，求CD的长．
图1－ZT－2
► 类型二 平行四边形与等腰三角形
5．如图1－ZT－3所示，在△ABC中，AB＝AC＝7 cm，D是BC上一点，且DE∥AC，DF∥AB，则DE＋DF＝________cm.
图1－ZT－3
图1－ZT－4
6．如图1－ZT－4所示，在▱ABCD中，AB＝5 cm，AD＝8 cm，∠BAD，∠ADC的平分线分别交BC于点E，F，则EF的长为________．
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7．如图1－ZT－5所示，如果▱ABCD的内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求▱ABCD各内角的度数．
图1－ZT－5
► 类型三 平行四边形中的中点问题
图1－ZT－6
8．如图1－ZT－6所示，在▱ABCD中，AB＝6 cm，BC＝10 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( )
A．2 cm＜OA＜5 cm B．2 cm＜OA＜8 cm
C．1 cm＜OA＜4 cm D．3 cm＜OA＜8 cm
9．若O为▱ABCD的对角线AC与BD的交点，且AO＋BO＝11 cm，则AC＋BD＝________cm.
10．如图1－ZT－7所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC于点A，AB＝1，BC＝，则对角线BD的长为__________．
图1－ZT－7
图1－ZT－8
11．如图1－ZT－8所示，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为F，EF的反向延长线与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是________．
12．如图1－ZT－9所示，在▱ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，求▱ABCD的面积．
图1－ZT－9
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► 类型四 平行四边形中的开放性问题
13．如图1－ZT－10，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是( )
图1－ZT－10
A．∠E＝∠CDF B．EF＝DF
C．AD＝2BF D．BE＝2CF
14．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列六组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC；⑤∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC；⑥∠BAD＋∠ABC＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的有( )
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
15．如图1－ZT－11所示，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等．(只需证明一组线段相等即可)
(1)连接________；
(2)猜想：________＝________；
(3)证明．
图1－ZT－11
16．如图1－ZT－12，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，交AC于点G，F是AD的中点．
(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；
(2)若EB是∠AEC的平分线，请写出图中所有与AE相等的边．
图1－ZT－12
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详解详析
专题训练(一) 平行四边形的性质与判定的灵活运用
1．[答案] 3
2．[答案] 2 4
3．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF.
又∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE，∴∠AEB＝∠CFD，
∴△ABE≌△CDF.
(2)由(1)知△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.
又∵BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
4．解：(1)证明：∵AD∥EC，∴∠A＝∠BEC.
∵E是AB的中点，∴AE＝BE.
又∵∠AED＝∠B，
∴△AED≌△EBC.
(2)∵△AED≌△EBC，∴AD＝EC.
又∵AD∥EC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CD＝AE.
∵AB＝6，∴CD＝AB＝3.
5．[答案] 7
6．[答案] 2 cm
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C，∠B＝∠D，AD∥BC，
∴∠BAD＋∠B＝180°，∠DAE＝∠BEA.
又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE.
又∵AE＝BE，∴AB＝BE＝AE，
∴∠B＝60°，
∴∠D＝60°，∠BAD＝∠C＝120°.
[点评] 当平行四边形中有角平分线、线段垂直平分线或特殊角(30°，60°等)时，通常可以转化出等腰三角形，反之亦然．
8．[答案] B
9．[答案] 22
10．[答案] 2
11．[答案] 2
12．解：如图所示，延长BC至点E，使CE＝CM，连接DE.
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∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD∥ME.
又∵M是BC的中点，
∴BC＝2CM＝2CE＝2BM，
∴AD＝ME＝10，BE＝15，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴DE＝AM＝9.
又∵BD2＋DE2＝122＋92＝225，
BE2＝152＝225，
∴BD2＋DE2＝BE2，∴BD⊥DE，
∴▱ABCD的面积＝2(△BDE的面积－△DCE的面积)＝2×(×9×12－×9×12×)＝72.
13．[答案] D
14．[答案] C
15．解：(1)BF(或DF)
(2)BF DE(或DF BE)
(3)证明BF＝DE：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠DAE＝∠BCF.
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF；
证明DF＝BE：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF.
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF.
16．解：(1)证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD.
∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠DBF.
在△AFE和△DFB中，
∴△AFE≌△DFB(AAS)，
∴AE＝BD，
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∴AE＝CD.
又∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形．
(2)图中所有与AE相等的边有：AF，DF，BD，CD.
理由：∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AE＝CD，AD∥EC，
∴∠CEF＝∠AFE.
∵BD＝CD，
∴AE＝BD.
∵EB平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠CEF＝∠AFE，
∴AE＝AF.
∵△AFE≌△DFB，
∴AF＝DF，
∴AE＝AF＝DF＝BD＝CD.
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