专题训练(二) 特殊平行四边形的折叠问题
► 类型一 把一个顶点折叠到一条边上
1．如图2－ZT－1所示，在矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，求CD的长．
图2－ZT－1
2．如图2－ZT－2，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，连接AE，AE与FG交于点O.
求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形．
图2－ZT－2
► 类型二 把一条边折叠到对角线上
3.
图2－ZT－3
如图2－ZT－3所示，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．准备一张矩形纸片ABCD，按图2－ZT－4所示操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M处，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N处．
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(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
图2－ZT－4
► 类型三 把一个顶点折叠到另一个顶点上
5．如图2－ZT－5所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若AB＝1，BC＝2，则△ABE和△BC′F的周长之和为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
图2－ZT－5
图2－ZT－6
6．2018·三台县模拟 如图2－ZT－6，矩形纸片ABCD中，AB＝6 cm，AD＝10 cm，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上运动，将△AEF沿EF折叠，使点A′落在BC边上，当折痕EF移动时，点A′在BC边上也随之移动，则A′C长度的取值范围为________．
7．如图2－ZT－7所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，求折痕EF的长．
图2－ZT－7
8．如图2－ZT－8所示，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD
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于点E，交BC于点F，连接CE.
(1)求证：四边形AFCE为菱形；
(2)设AE＝a，DE＝b，CD＝c.请写出a，b，c三者之间的数量关系式，并说明理由．
图2－ZT－8
► 类型四 沿一条直线折叠
图2－ZT－9
9．2018·内江 如图2－ZT－9，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为( )
A．31° B．28°
C．62° D．56°
10．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图2－ZT－10所示的图形．若∠CED′＝56°，则∠AED＝________°.
图2－ZT－10
图2－ZT－11
11．如图2－ZT－11所示，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心点O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A＝120°，则EF＝________cm.
12．如图2－ZT－12，将一张矩形纸片ABCD折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图①；
第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得
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到线段B′F，展开，如图②.
求证：(1)∠ABE＝30°；
(2)四边形BFB′E为菱形．
图2－ZT－12
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详解详析
专题训练(二) 特殊平行四边形的折叠问题
1．解：根据折叠的性质，知EF＝AE＝5.根据矩形的性质，知∠B＝90°.在Rt△BEF中，∠B＝90°，EF＝5，BF＝3，根据勾股定理，得BE＝＝＝4，∴CD＝AB＝AE＋BE＝5＋4＝9.
2．证明：连接AF.由折叠的性质，可得AG＝EG，∠AGF＝∠EGF.
∵DC∥AB，
∴∠EFG＝∠AGF，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴EF＝EG.
又∵AG＝EG，∴EF＝AG，
∴四边形AGEF是平行四边形．
又∵AG＝EG，∴平行四边形AGEF是菱形，即A，G，E，F四点围成的四边形是菱形．
3．[答案] D
4．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB.
又由折叠的性质，知∠ABE＝∠EBD，∠CDF＝∠FDB，
∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF.
又∵ED∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
(2)∵四边形BFDE是菱形，
∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°.
∵∠A＝90°，AB＝2，
∴AE＝，BF＝BE＝2AE＝，
∴菱形BFDE的面积为×2＝.
5．[答案] C
6．[答案] 4 cm≤A′C≤8 cm
[解析] ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，BC＝AD＝10 cm，CD＝AB＝6 cm.
当点E与点B重合时，A′C的长度最小，
如图①所示：
此时BA′＝BA＝6 cm，
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∴A′C＝BC－BA′＝10－6＝4(cm)；
当点F与点D重合时，A′C的长度最大，
如图②所示：
此时A′D＝AD＝10 cm，
∴A′C＝＝8(cm)．
综上所述，A′C长度的取值范围为4 cm≤A′C≤8 cm.
故答案为：4 cm≤A′C≤8 cm.
7．解：设BE＝x，则CE＝BC－BE＝16－x.
∵沿EF翻折后点C与点A重合，
∴AE＝CE＝16－x.
在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，
即82＋x2＝(16－x)2，解得x＝6，
∴AE＝16－6＝10.
由翻折的性质，得∠AEF＝∠CEF.
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AF＝AE＝10.
过点E作EH⊥AD于点H，则四边形ABEH是矩形，
∴EH＝AB＝8，AH＝BE＝6，
∴FH＝AF－AH＝10－6＝4.
在Rt△EFH中，EF＝＝＝4 .
8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE.
由折叠的性质，得∠AFE＝∠CFE，AF＝CF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AF＝AE，
∴AF＝CF＝AE.
又∵AD′＝CD，∠D′＝∠D，D′E＝DE，
∴△AD′E≌△CDE，
∴AE＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AFCE为菱形．
(2)a，b，c三者之间的数量关系式为a2＝b2＋c2.理由如下：
由(1)知CE＝AE.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°.
∵AE＝a，DE＝b，CD＝c，∴CE＝AE＝a.
在Rt△DCE中，CE2＝CD2＋DE2，
∴a，b，c三者之间的数量关系式可写为a2＝b2＋c2.
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9．[解析] D ∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°.∵∠BDC＝62°，∴∠ADB＝90°－62°＝28°.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.根据题意可知∠EBD＝∠CBD，∴∠EBD＝∠ADB＝28°，∴∠DFE＝∠ADB＋∠EBD＝56°.故选D.
10．[答案] 62
11．[答案]
12．证明：(1)∵第二步折叠使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，
∴∠AEB＝∠A′EB.
∵第三步折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，
∴∠A′EB＝∠FEB′.
∵∠AEB＋∠A′EB＋∠FEB′＝180°，
∴∠AEB＝∠A′EB＝∠FEB′＝60°.
又∵∠A＝90°，∴∠ABE＝30°.
(2)∵∠A′EB＝∠FEB′＝60°，EB′∥BF，
∴∠A′EB＝∠FEB′＝∠BFE＝∠EFB′＝60°，
∴△BEF和△EFB′都是等边三角形，
∴BE＝BF＝EF＝EB′＝FB′，
∴四边形BFB′E为菱形．
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