课时作业(十七)
[9.4 第2课时 矩形的判定]
一、选择题
1．如图K－17－1，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( )
图K－17－1
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
2．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列不能判定它是矩形的条件是( )
A．AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD
B．AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°
C．∠ABC＝∠BCD＝∠ADC
D．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD
3．平面内一点到两条平行线的距离分别是1 cm和3 cm，则这两条平行线间的距离为( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．2 cm或4 cm
图K－17－2
4．如图K－17－2，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．AB＝BE B．BE⊥DC
C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
二、填空题
5．2018·灌云县月考 对于四边形ABCD，下面给出对角线的三种特征：①AC，BD互相平分；②AC⊥BD；③AC＝BD.当具备上述条件中的______时，就能得到四边形ABCD是矩形．(填序号)
图K－17－3
6．如图K－17－3，地面上两根一样长的电线杆AB，CD均与地面垂直，小明想知道两
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根电线杆顶端A，C之间的距离，他没有梯子，于是就测量了底端B，D间的距离，他认为点B，D间的距离等于点A，C间的距离．你认为他的想法对吗？________(填“对”或“不对”)，依据是______________________．
7．2018·常州校级期中 如图K－17－4，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝CD，连接AE交BC于点F，连接BE，∠AFC＝n∠D，当n＝________时，四边形ABEC是矩形．
图K－17－4
图K－17－5
8．如图K－17－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为AB上不与点A，B重合的一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，则线段EF的最小值为________．
三、解答题
9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CD到点E，使ED＝CD，连接AE，BE.求证：四边形ACBE是矩形.
10．已知：如图K－17－6，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F，且BE＝CF.求证：平行四边形ABCD是矩形.
图K－17－6
11.如图K－17－7，在△ABC中，AD＝CD＝BD，且DF，DE分别是∠BDC和∠ADC的平分线，试判断CD与EF的关系，并说明理由．
图K－17－7
12．如图K－17－8所示，在四边形ABCD中，H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF.
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(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是______________，并证明；
(2)连接BF，CE.在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由．
图K－17－8
13．2017·徐州 如图K－17－9，在▱ABCD中，O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E.连接BD，EC.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形．
图K－17－9
14．如图K－17－10，在△ABC中，D是AB的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.
(1)求证：DB＝CF；
(2)如果AC＝BC，试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论.
图K－17－10
动点问题 如图K－17－11，在▱ABCD中，对角线BD＝12 cm，AC＝16 cm，AC，BD相交
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于点O.若E，F是AC上的两动点，分别从A，C两点以相同的速度向点C，A运动，其速度为0.5 cm/s.
(1)当点E与点F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由．
(2)在点E，F的运动过程中，以点D，E，B，F为顶点的四边形能为矩形吗？如果能，求出此时的运动时间t的值；如果不能，请说明理由．
图K－17－11
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详解详析
课时作业(十七)
[9.4 第2课时 矩形的判定]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] D 因为四边形ABCD的对角线互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形．要使它成为矩形，必须有一个角是直角或两条对角线相等．
2．[解析] C 作图观察就很容易得出答案．
3．[答案] D
4．[答案] B
5．[答案] ①③
[解析] 当具备①③两个条件时，能得到四边形ABCD是矩形．理由：∵对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形．故答案为：①③.
6．[答案] 对 两条平行线之间的距离处处相等
7．[答案] 2
[解析] 当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BCE＝∠D.由题意易得AB＝EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC＝∠FEC＋∠BCE，∴当∠AFC＝2∠D时，则有∠FEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∴AE＝BC，∴四边形ABEC是矩形．
8．[答案]
[解析] 如图，连接CD.
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10.
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD.
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段CD的值最小，即线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC·AC＝AB·CD，
即×8×6＝×10×CD，
解得CD＝，∴EF＝.
9．[解析] 有一个角是直角的平行四边形是矩形．
证明：因为D是AB的中点，
所以AD＝BD＝AB.
因为ED＝CD，
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所以四边形ACBE是平行四边形．
又因为∠ACB＝90°，
所以四边形ACBE是矩形．
10．证明：∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠OEB＝∠OFC＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝BD，OC＝AC.
在△BEO和△CFO中，
∴△BEO≌△CFO(AAS)，
∴OB＝OC，∴BD＝AC，
∴平行四边形ABCD是矩形．
11．[解析] 有三个角是直角的四边形是矩形．
解：CD与EF互相平分且相等．
理由如下：因为AD＝CD＝BD，
所以∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD.
又因为∠A＋∠ACD＋∠B＋∠BCD＝180°，
所以2(∠ACD＋∠BCD)＝180°，
所以∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝×180°＝90°.
因为AD＝CD＝BD，
所以△ADC与△BDC均为等腰三角形．
因为DE，DF分别平分∠ADC，∠BDC，
所以DE⊥AC，DF⊥BC，即∠CED＝∠CFD＝90°，
所以四边形CEDF为矩形，
所以EF与CD互相平分且相等．
12．解：(1)答案不唯一，如添加条件：BE∥CF.
证明：连接BF，CE，如图所示．
∵BE∥CF，∴∠1＝∠2.
∵H是边BC的中点，
∴BH＝CH.
又∵∠3＝∠4，
∴△BEH≌△CFH.
(2)当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形．
理由如下：
∵△BEH≌△CFH，∴EH＝FH.
又∵BH＝CH，
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∴四边形BFCE是平行四边形．
∵BH＝EH，∴BC＝EF，
∴▱BFCE是矩形．
13．[解析] (1)先证明△EBO≌△DCO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定；
(2)若四边形BECD为矩形，则BC＝DE，BD⊥AE.又AD＝BC，∴AD＝DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB＝∠EDB＝40°，∴∠ADE＝80°，故∠BOD＝180°－∠ADE＝100°.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥DC，
∴∠EBO＝∠DCO，∠BEO＝∠CDO.
∵O是边BC的中点，∴BO＝CO，
∴△EBO≌△DCO，∴EO＝DO，
∴四边形BECD是平行四边形．
(2)100
14．[解析] (1)根据CF∥AB，可知∠DAE＝∠CFE，结合E是CD的中点得出△ADE≌△FCE，可得DA＝CF，再根据等量代换可知DB＝CF.
(2)根据DB＝CF，DB∥CF，可知四边形BDCF是平行四边形，再根据AC＝BC，DA＝DB，得出CD⊥AB，从而四边形BDCF是矩形．
解：(1)证明：因为CF∥AB，
所以∠DAE＝∠CFE.
因为E是CD的中点，所以DE＝CE.
在△ADE和△FCE中，
所以△ADE≌△FCE，
所以DA＝CF.
因为DA＝DB，所以DB＝CF.
(2)四边形BDCF是矩形．
证明：因为DB＝CF，DB∥CF，
所以四边形BDCF是平行四边形．
因为AC＝BC，DA＝DB，
所以CD⊥AB，所以∠CDB＝90°，
所以平行四边形BDCF是矩形．
[素养提升]
解：(1)当点E与点F不重合时，四边形DEBF是平行四边形．
理由：∵E，F是AC上的两动点，分别从A，C两点以相同的速度向点C，A运动，∴AE＝CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，
∴|OA－AE|＝|OC－CF|，
即OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
(2)能．分为两种情况：
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①当点E在OA上，点F在OC上时，
∵四边形DEBF是矩形，
∴EF＝BD＝12 cm.
∵AE＝CF＝0.5t cm，
∴16－0.5t－0.5t＝12，
解得t＝4.
②当点E在OC上，点F在OA上时，AE＝CF＝0.5t cm，则0.5t－12＋0.5t＝16，解得t＝28.
故当运动时间t为4 s或28 s时，以点D，E，B，F为顶点的四边形是矩形．
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