2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十三函数模型及其应用含解析2019050669.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 课时跟踪检测(十三)　函数模型及其应用 ‎1．某品牌电视新品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销售y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是(　　)‎ A．y＝100x　　　　　　　 B．y＝50x2－50x＋100‎ C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100‎ 解析：选C　根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可，故选C.‎ ‎2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是(　　)‎ A．118元 B．105元 C．106元 D．108元 解析：选D　设进价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故选D.‎ ‎3．(2018·北京石景山联考)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的(　　)‎ A．点M B．点N C．点P D．点Q 解析：选D　假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，选D.‎ ‎4．(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是(　　)‎ A．y＝(x－50)2＋500 B．y＝10＋500‎ C．y＝(x－50)3＋625 D．y＝50[10＋lg(2x＋1)]‎ 解析：选C　由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A中，函数y＝(x－50)2＋500先减后增，不符合要求；B中，函数y＝10＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D中，函数y＝50[10＋lg(2x＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C中，函数y＝(x－50)3＋625是由函数y＝x3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.‎ ‎5．(2019·邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y＝1＋(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完. 若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为(　　)‎ A．30.5万元 B．31.5万元 C．32.5万元 D．33.5万元 解析：选B　由题意，产品的生产成本为(30y＋4)万元，销售单价为×150%＋×50%，故年销售收入为z＝·y＝45y＋6＋x.∴年利润W＝z－(30y＋4)－x＝15y＋2－＝17＋－(万元)．∴当广告费为1万元时，即x＝1，该企业甲产品的年利润为17＋－＝31.5(万元)．故选B.‎ ‎6．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．‎ 解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.‎ 答案：4.24‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎7．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．‎ 解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.‎ 化简得x－6×0.9x＝0.‎ 令f(x)＝x－6×0.9x，‎ 易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点．‎ 故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．‎ 答案：4‎ ‎8.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为9平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的取值范围为________．‎ 解析：根据题意知，9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2×＝BC＋x，h＝x，‎ 所以9＝(2BC＋x)x，得BC＝－，‎ 由得2≤x＜6.‎ 所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x＜6)，‎ 由y＝＋≤10.5，解得3≤x≤4.‎ 因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长x的取值范围为[3,4]．‎ 答案：[3,4]‎ ‎9.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．‎ ‎(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；‎ ‎(2)求矩形BNPM面积的最大值．‎ 解：(1)如图，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，‎ 在△EDF中，＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以＝，‎ 所以y＝－x＋10，‎ 定义域为{x|4≤x≤8}．‎ ‎(2)设矩形BNPM的面积为S，‎ 则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，‎ 所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增，‎ 所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米．‎ ‎10．近年来，某企业平均每年缴纳的电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的费用(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业平均每年缴纳的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数) .记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业今后15年共将缴纳的电费之和．‎ ‎(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式；‎ ‎(2)当x为多少时，y取得最小值？最小值是多少万元？‎ 解：(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时该企业平均每年缴纳的电费，即未安装太阳能供电设备时，该企业平均每年缴纳的电费．由C(0)＝＝24，得k＝2 400，‎ 所以y＝15×＋0.5x＝＋0.5x(x≥0)．‎ ‎(2)因为y＝＋0.5(x＋5)－2.5≥2－2.5＝57.5，‎ 当且仅当＝0.5(x＋5)，即x＝55时取等号，‎ 所以当x为55时，y取得最小值，最小值为57.5万元．‎ ‎11．[选做题]某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)＝万元．‎ ‎(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？‎ ‎(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)＝(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？‎ 解：(1)由总成本p(x)＝万元，可得每台机器人的平均成本y＝＝＝x＋＋1≥2＋1＝2.当且仅当x＝，即x＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．‎ ‎(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量 q(m)＝当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60－m)＝－160m2＋9 600m，∴当m＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件．当m＞30时，日平均分拣量为480×300＝144 000(件)．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．若传统人工分拣144 000件，则需要人数为＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少×100%＝75%.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费