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课时跟踪检测(十) 指数与指数函数
一、题点全面练
1.··的化简结果为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选B 原式＝3··12
＝3·3·2·4·3
＝3＋＋·2
＝3·20＝3.
2.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论中正确的是( )
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1,0＜b＜1
D．0＜a＜1，b＜0
解析：选D 法一：由题图可知0＜a＜1，当x＝0时，a－b∈(0,1)，故－b＞0，得b＜0.故选D.
法二：由图可知0＜a＜1，f(x)的图象可由函数y＝ax的图象向左平移得到，故－b＞0，则b＜0.故选D.
3．化简4a·b÷的结果为( )
A．－ B．－
C．－ D．－6ab
解析：选C 原式＝4÷ab＝－6ab－1＝－，故选C.
4．设x＞0，且1＜bx＜ax，则( )
A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1
C．1＜b＜a D．1＜a＜b
解析：选C 因为1＜bx，所以b0＜bx，
因为x＞0，所以b＞1，
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因为bx＜ax，所以x＞1，
因为x＞0，所以＞1，所以a＞b，所以1＜b＜a.故选C.
5．已知a＝()，b＝2，c＝9，则a，b，c的大小关系是( )
A．b＜a＜c B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
解析：选A a＝()＝2＝2，b＝2，c＝9＝3，
由函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，得a＜c，
由函数y＝2x在R上为增函数，得a＞b，
综上得c＞a＞b.故选A.
6．函数f(x)＝ax＋b－1(其中0＜a＜1，且0＜b＜1)的图象一定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C 由0＜a＜1可得函数y＝ax的图象单调递减，且过第一、二象限，因为0＜b＜1，所以－1＜b－1＜0，
所以0＜1－b＜1，
y＝ax的图象向下平移1－b个单位即可得到y＝ax＋b－1的图象，
所以y＝ax＋b－1的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限．故选C.
7．已知函数f(x)＝则函数f(x)是( )
A．偶函数，在[0，＋∞)单调递增
B．偶函数，在[0，＋∞)单调递减
C．奇函数，且单调递增
D．奇函数，且单调递减
解析：选C 易知f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x＜0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x＞0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.
8．二次函数y＝－x2－4x(x＞－2)与指数函数y＝x的交点有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
解析：选C 因为二次函数y＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4(x＞－2)，且x＝－1时，y＝－x2－4x＝3，
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y＝x＝2，
在坐标系中画出y＝－x2－4x(x＞－2)与y＝x的大致图象，
由图可得，两个函数图象的交点个数是1.故选C.
9．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为( )
解析：选A 因为x∈(0,4)，所以x＋1＞1，
所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2 －5＝1，
当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，
所以a＝2，b＝1，
此时g(x)＝2|x＋1|＝
此函数图象可以看作由函数y＝的图象向左平移1个单位得到．
结合指数函数的图象及选项可知A正确．故选A.
10．函数f(x)＝的单调递减区间为________．
解析：设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上为减函数，∴函数f(x)＝的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
11．不等式＜恒成立，则a的取值范围是________．
解析：由指数函数的性质知y＝x是减函数，
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因为＜恒成立，
所以x2＋ax＞2x＋a－2恒成立，
所以x2＋(a－2)x－a＋2＞0恒成立，
所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)＜0，
即(a－2)(a－2＋4)＜0，
即(a－2)(a＋2)＜0，
故有－2＜a＜2，即a的取值范围是(－2,2)．
答案：(－2,2)
12．已知函数f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)．
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．
解：(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
对于定义域内任意x，有
f(－x)＝(－x)3
＝(－x)3
＝(－x)3
＝x3＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
(2)由(1)知f(x)为偶函数，
∴只需讨论x＞0时的情况，当x＞0时，要使f(x)＞0，
则x3＞0，
即＋＞0，
即＞0，则ax＞1.
又∵x＞0，∴a＞1.
∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
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1．设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则( )
A．K的最大值为0 B．K的最小值为0
C．K的最大值为1 D．K的最小值为1
解析：选D 根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．
令2x＝t，则t∈(0,2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，
∴K≥1，故选D.
2．已知实数a，b满足＞a＞b＞，则( )
A．b＜2 B．b＞2
C．a＜ D．a＞
解析：选B 由＞a，得a＞1，由a＞b，得2a＞b，故2a＜b，由b＞，得b＞4，得b＜4.由2a＜b，得b＞2a＞2，a＜＜2，故1＜a＜2,2＜b＜4.
对于选项A、B，由于b2－4(b－a)＝(b－2)2＋4(a－1)＞0恒成立，故A错误，B正确；对于选项C，D，a2－(b－a)＝2－，由于1＜a＜2,2＜b＜4，故该式的符号不确定，故C、D错误．故选B.
3．设a＞0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a的值．
解：令t＝ax(a＞0，且a≠1)，
则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t＞0)．
①当0＜a＜1，x∈[－1,1]时，t＝ax∈，
此时f(t)在上为增函数．
所以f(t)max＝f＝2－2＝14.
所以2＝16，解得a＝－(舍去)或a＝.
②当a＞1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈，
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此时f(t)在上是增函数．
所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3或a＝－5(舍去)．
综上得a＝或3.
(二)交汇专练——融会巧迁移
4．[与基本不等式交汇]设f(x)＝ex,0＜a＜b，若p＝f，q＝f，r＝，则下列关系式中正确的是( )
A．q＝r＜p B．p＝r＜q
C．q＝r＞p D．p＝r＞q
解析：选C ∵0＜a＜b，∴＞，又f(x)＝ex在(0，＋∞)上为增函数，∴f＞f()，即q＞p.又r＝＝＝e＝q，故q＝r＞p.故选C.
5．[与一元二次函数交汇]函数y＝x－x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．
解析：令t＝x，
因为x∈[－3,2]，所以t∈，
故y＝t2－t＋1＝2＋.
当t＝时，ymin＝；
当t＝8时，ymax＝57.
故所求函数的值域为.
答案：
6．[与函数性质、不等式恒成立交汇]已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．
解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，
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所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.
从而有f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t＞－2t2＋k.
即对一切t∈R有3t2－2t－k＞0，
从而Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－.
故k的取值范围为.
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